ルンゲ・クッタ法の一覧

ルンゲ・クッタ法は、常微分方程式の数値解法である。

\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y).}

明示的ルンゲ・クッタ法は次の形式をとる。

{\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}\\k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),\\&\;\;\vdots \\k_{i}&=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right).\end{aligned}}

s 段階の暗黙的メソッドの段階はより一般的な形式をとり、すべての s について解が求められる。

k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right).

このページに記載されている各手法は、ブッチャー表によって定義されており、その表には各手法の係数が以下のようにまとめられています。

{\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}

適応法と暗黙法の場合、ブッチャー表は拡張され、次の値が得られます。 $b_{i}^{*}$ 推定誤差は次のようになります。

e_{n+1}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i}

。

明示的な方法

明示的な方法は、行列が $[a_{ij}]$ 下三角です。

一次法

前進オイラー

オイラー法は1次法である。安定性と精度に欠けるため、その普及は限定的で、主に数値解法の簡単な入門例として用いられる程度にとどまっている。

{\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}

二次法

一般的な二次法

2次法は一般的に次のように記述できます。^{[ 1 ]}

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\\alpha &\alpha &0\\\hline &1-{\frac {1}{2\alpha }}&{\frac {1}{2\alpha }}\\\end{array}}

ただし、α ≠ 0 とする。

明示的中点法

（明示的な）中点法は、2段階からなる2次法である（下記の暗黙的な中点法も参照）。

{\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}

ヒューンの方法

ヒューンの方法は、2段階からなる2次精度法である。明示的台形公式、改良オイラー法、修正オイラー法とも呼ばれる。

{\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}

ラルストンの方法

ラルストン法は、2段階の2次法であり、最小局所誤差限界を持つ^{[ 2 ] 。}

{\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}

三次法

一般的な3次法

3次法は一般的に次のように記述できます。^{[ 1 ]}

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\\alpha &\alpha &0&0\\\beta &{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {\beta -3\alpha (1-\alpha )}{(3\alpha -2)}}&-{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {\beta -\alpha }{(3\alpha -2)}}&0\\\hline &1-{\frac {3\alpha +3\beta -2}{6\alpha \beta }}&{\frac {3\beta -2}{6\alpha (\beta -\alpha )}}&{\frac {2-3\alpha }{6\beta (\beta -\alpha )}}\\\end{array}}

α ≠ 0、α ≠ 2 ⁄ 3、β ≠ 0、およびα ≠ βです。

クッタの3次法

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}

ヒューンの3次法

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0\\2/3&0&2/3&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}

ラルストンの3次法

ラルストンの3次法^{[ 2 ]}は最小の局所誤差限界を持ち、埋め込みボガッキ・シャンパイン法で使用されています。

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\3/4&0&3/4&0\\\hline &2/9&1/3&4/9\\\end{array}}

Van der Houwen と Wray の 3 次法

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\8/15&8/15&0&0\\2/3&1/4&5/12&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}

3次強安定性保持ルンゲ・クッタ法（SSPRK3）

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}

4次法

古典的な4次法

「オリジナルの」ルンゲ・クッタ法。^{[ 3 ]}

{\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}

3/8ルール4次法

この方法は「古典的な」方法ほど有名ではありませんが、同じ論文（Kutta、1901）で提案されたため、同様に古典的です。^{[ 3 ]}

{\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}

ラルストンの4次法

この4次法^{[ 2 ]}は最小の打ち切り誤差を持つ。

{\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{5}}&0&0&0\\{\frac {14-3{\sqrt {5}}}{16}}&{\frac {-2\,889+1\,428{\sqrt {5}}}{1\,024}}&{\frac {3\,785-1\,620{\sqrt {5}}}{1\,024}}&0&0\\1&{\frac {-3\,365+2\,094{\sqrt {5}}}{6\,040}}&{\frac {-975-3\,046{\sqrt {5}}}{2\,552}}&{\frac {467\,040+203\,968{\sqrt {5}}}{240\,845}}&0\\\hline &{\frac {263+24{\sqrt {5}}}{1\,812}}&{\frac {125-1000{\sqrt {5}}}{3\,828}}&{\frac {3\,426\,304+1\,661\,952{\sqrt {5}}}{5\,924\,787}}&{\frac {30-4{\sqrt {5}}}{123}}\\\end{array}}

5次法

ニストロームの5次法

この第5次法は、クッタの研究で最初に提案された方法の修正版である。^{[ 4 ]}

${\begin{array}{c|cccccc}0&0&0&0&0&0&0\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&0&0&0\\{\frac {2}{5}}&{\frac {4}{25}}&{\frac {6}{25}}&0&0&0&0\\1&{\frac {1}{4}}&-3&{\frac {15}{4}}&0&0&0\\{\frac {2}{3}}&{\frac {2}{27}}&{\frac {10}{9}}&-{\frac {50}{81}}&{\frac {8}{81}}&0&0\\{\frac {4}{5}}&{\frac {2}{25}}&{\frac {12}{25}}&{\frac {2}{15}}&{\frac {8}{75}}&0&0\\\hline &{\frac {23}{192}}&0&{\frac {125}{192}}&0&-{\frac {27}{64}}&{\frac {125}{192}}\\\end{array}}$

埋め込みメソッド

組み込みメソッドは、単一のルンゲ・クッタステップの局所的な打ち切り誤差の推定値を生成するように設計されており、その結果、適応的なステップサイズで誤差を制御することが可能になります。これは、タブロー内に次数pのメソッドと次数p-1のメソッドの2つを用意することで実現されます。

下位ステップは次のように与えられる。

y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},

どこで $k_{i}$ 高階メソッドの場合と同じです。するとエラーは

e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},

それは $O(h^{p})$ この種の方法のブッチャー表は、以下の値を与えるように拡張されます。 $b_{i}^{*}$

{\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}

ホイン＝オイラー

最も単純な適応型ルンゲ・クッタ法は、2次のヒューン法と1次のオイラー法を組み合わせたものである。その拡張ブッチャー・タブローは以下の通りである。

{\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}

誤差推定値はステップサイズを制御するために使用されます。

フェールベルクRK1(2)

フェールベルグ法^{[ 5 ]}には、1次と2次の2つの方法がある。その拡張ブッチャー・タブローは次のようになる。

b係数の最初の行は2次精度の解を与え、2行目は1次精度の解を与える。

ボガッキ・シャンパイン

ボガッキ・シャンパイン法には、 2次と3次の2つの方法がある。その拡張ブッチャー・タブローは以下のとおりである。

b係数の最初の行は3次精度の解を与え、2行目は2次精度の解を与える。

フェールベルク

ルンゲ・クッタ・フェールベルグ法には、 5次と4次の2つの方法があり、RKF45と呼ばれることもあります。その拡張ブッチャー・タブローは以下のとおりです。

{\begin{array}{r|ccccc}0&&&&&\\1/4&1/4&&&\\3/8&3/32&9/32&&\\12/13&1932/2197&-7200/2197&7296/2197&\\1&439/216&-8&3680/513&-845/4104&\\1/2&-8/27&2&-3544/2565&1859/4104&-11/40\\\hline &16/135&0&6656/12825&28561/56430&-9/50&2/55\\&25/216&0&1408/2565&2197/4104&-1/5&0\end{array}}

b係数の最初の行は5次精度の解を与え、2行目は4次精度の解を与えます。これらの係数を用いることで、適応的なステップサイズを自動的に決定できます。

キャッシュ・カープ

キャッシュとカープはフェールバーグの元のアイデアを修正した。キャッシュ・カープ法の拡張タブローは次のとおりである。

b係数の最初の行は5次精度の解を与え、2行目は4次精度の解を与える。

ドーマンド＝プリンス

ドルマンド・プリンス法の拡張タブローは次のとおりである。

b係数の最初の行は5次精度の解を与え、2行目は4次精度の解を与える。

暗黙的メソッド

後方オイラー

後退オイラー法は1次法である。線形拡散問題に対して無条件に安定で、振動しない。

{\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}

暗黙の中間点

陰解法の中点法は2次法である。これは、ガウス・ルジャンドル法として知られるコロケーション法のクラスの中で最も単純な方法である。これはシンプレクティック積分法である。

{\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}

クランク・ニコルソン法

クランク・ニコルソン法は暗黙の台形公式に対応し、2次精度かつA安定な方法である。

{\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}

ガウス・ルジャンドル法

これらの方法はガウス・ルジャンドル求積法の点に基づいています。4次のガウス・ルジャンドル法はブッチャー表を持ちます。

{\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{array}}

6次のガウス・ルジャンドル法には、ブッチャー表があります。

{\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}

対角的に陰的なルンゲ・クッタ法

対角的に陰的なルンゲ・クッタ（DIRK）公式は、硬い初期値問題の数値解法に広く用いられてきました。 ^{[ 6 ]} このアプローチの利点は、解を同時にではなく逐次的に求めることができる点です。

このクラスの中で最も単純な方法は、2次陰解法の中点法です。

Kraaijvanger と Spijker の 2 段階の対角暗黙的ルンゲクッタ法:

{\begin{array}{c|cc}1/2&1/2&0\\3/2&-1/2&2\\\hline &-1/2&3/2\\\end{array}}

秦と張による2段階2次シンプレクティック対角陰解法ルンゲ・クッタ法：

{\begin{array}{c|cc}1/4&1/4&0\\3/4&1/2&1/4\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}

パレスキとルッソによる2段階2次対角陰解法ルンゲ・クッタ法：

{\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1-x&1-2x&x\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}

この対角的に陰的なルンゲ・クッタ法は、以下の条件を満たす場合に限りA安定である。 ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$ さらに、この方法は、以下の条件を満たす場合に限りL安定である。 $x$ 多項式の根の1つに等しい ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$ つまり、 ${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ QinとZhangの対角陰解法Runge–Kutta法は、PareschiとRussoの対角陰解法Runge–Kutta法に対応し、 $x=1/4$ 。

2段階2次対角陰解法ルンゲ・クッタ法：

{\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1&1-x&x\\\hline &1-x&x\\\end{array}}

繰り返しますが、この対角的に陰的なルンゲ・クッタ法は、以下の条件を満たす場合に限りA安定です。 ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$ 前の方法と同様に、この方法も、次の場合に限りL安定である。 $x$ 多項式の根の1つに等しい ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$ つまり、 ${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ この条件は、2次精度を得るためにも必要です。

クルーゼックスの2段階3次対角陰解法ルンゲ・クッタ法：

{\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}

クルーゼックスの3段階4次対角線暗黙的ルンゲ・クッタ法：

{\begin{array}{c|ccc}{\frac {1+\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0&0\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0\\{\frac {1-\alpha }{2}}&1+\alpha &-(1+2\,\alpha )&{\frac {1+\alpha }{2}}\\\hline &{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}&1-{\frac {1}{3\alpha ^{2}}}&{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}\\\end{array}}

と ${\textstyle \alpha ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}}$ 。

3段階、3次、L安定な対角陰解法ルンゲ・クッタ法：

{\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\{\frac {1+x}{2}}&{\frac {1-x}{2}}&x&0\\1&-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\hline &-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\end{array}}

と $x=0.4358665215$

ノルセットの3段階4次対角暗黙的ルンゲ・クッタ法は、以下のブッチャー表を持つ。

{\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\1/2&1/2-x&x&0\\1-x&2x&1-4x&x\\\hline &{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}&{\frac {3(1-2x)^{2}-1}{3(1-2x)^{2}}}&{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}\\\end{array}}

と $x$ 3次方程式の3つの根のうちの1つ $x^{3}-3x^{2}/2+x/2-1/24=0$ この三次方程式の3つの根は、およそ次の通りです。 ${\textstyle x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}=1.068579021301629}$ 、 ${\textstyle x_{2}=0.1288864005157204}$ 、そして ${\textstyle x_{3}=0.3025345781826508}$ ルート $x_{1}$ 初期値問題に対して最高の安定性特性を与える。

4段階、3次、L安定な対角陰解法ルンゲ・クッタ法

{\begin{array}{c|cccc}1/2&1/2&0&0&0\\2/3&1/6&1/2&0&0\\1/2&-1/2&1/2&1/2&0\\1&3/2&-3/2&1/2&1/2\\\hline &3/2&-3/2&1/2&1/2\\\end{array}}

ロバットメソッド

^{ロバット法には主に 3 つの}^{ファミリー}があり、^IIIA、IIIB、IIIC と呼ばれています (古典的な数学文献では、記号 I と II は 2 種類のラダウ法に予約されています)。これらは、ロバット求積法を参照するためにRehuel Lobatto ^{[ 7 ]}にちなんで名付けられましたが、Byron L. Ehle が論文で導入しました。^[⁸^] すべて陰解法であり、次数は 2 s − 2 で、すべてc ₁ = 0 かつc _s = 1 です。陽解法とは異なり、これらの方法では次数がステージ数よりも大きくなる可能性があります。ロバットは、古典的な 4 次法がルンゲとクッタによって普及する以前に生きていました。

ロバットIIIA法

ロバットIIIA法はコロケーション法である。2次法は台形公式として知られている。

{\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}

4次法は次のように与えられる。

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}

これらの方法はA安定ではあるが、L安定でもB安定でもない。^{[ 7 ]}

ロバットIIIB法

Lobatto IIIB法はコロケーション法ではありませんが、不連続コロケーション法と見なすことができます（Hairer、Lubich & Wanner 2006 、§II.1.4）。2次法は次のように与えられます。

{\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}

4次法は次のように与えられる。

{\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}

Lobatto IIIB法はA安定であるが、L安定でもB安定でもない。^{[ 7 ]}

ロバットIIIC法

Lobatto IIIC法もまた不連続コロケーション法である。2次法は次のように与えられる。

{\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}

4次法は次のように与えられる。

{\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}

これらはL安定である。また、代数的にも安定であり、したがってB安定でもあるため、硬い問題に適している。

ロバットIIIC*法

Lobatto IIIC*法は、文献ではLobatto III法（Butcher、2008）、ButcherのLobatto法（Hairerら、1993）、Lobatto IIIC法（Sun、2000）としても知られています。^{[ 7 ]} 2次法は次のように与えられます。

{\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}

ブッチャーの3段階4次法は次のように表される。

{\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}

これらの方法はA安定、B安定、L安定ではありません。Lobatto IIIC*法は $s=2$ これは明示的な台形公式と呼ばれることもある。

一般化されたロバット法

3つの実数パラメータを持つ非常に一般的なメソッド群を考えることができる。 $(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})$ ロバット係数を次の形式で考慮する

a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{A}+\alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C*}

、

どこ

\alpha _{C*}=1-\alpha _{A}-\alpha _{B}-\alpha _{C}

。

例えば、(Nørsett and Wanner, 1981)で紹介されたLobatto IIIDファミリー（Lobatto IIINWとも呼ばれる）は、以下のように表される。

{\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}

そして

{\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}

これらの方法は以下に対応します $\alpha _{A}=2$ 、 $\alpha _{B}=2$ 、 $\alpha _{C}=-1$ 、そして $\alpha _{C*}=-2$ これらの手法はL安定である。代数的に安定であるため、B安定でもある。

ラドー法

ラダウ法は完全陰解法であり（このような方法の行列Aは任意の構造を持つことができる）、s段で2s - 1のオーダーを達成する。ラダウ法はA安定であるが、実装コストが高い。また、オーダー低下の影響を受ける可能性がある。

ラダウIA法

一次法は後退オイラー法に似ており、次のように表される。

{\begin{array}{c|cc}0&1\\\hline &1\\\end{array}}

3次法は次のように表される。

{\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}

5次法は次のように与えられる。

{\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}

ラドーIIA法

この方法のc i_は、

{\frac {d^{s-1}}{dx^{s-1}}}(x^{s-1}(x-1)^{s})

。

一次法は後退オイラー法と同等である。

3次法は次のように表される。

{\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}

5次法は次のように与えられる。

{\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}

注記

1 2ブッチャー、ジョン C. (2003).常微分方程式の数値解法. ジョン・ワイリー. ISBN 978-0-471-96758-3。
1 2 3 Ralston, Anthony (1962). "最小誤差限界を持つルンゲ・クッタ法" . Math. Comput . 16 (80): 431–437 . doi : 10.1090/S0025-5718-1962-0150954-0 .
1 2クッタ、マーティン(1901)。「Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen」。数学と物理学の時代。46 : 435–453 .
↑ Butcher, JC (1996-03-01). "ルンゲ・クッタ法の歴史" .応用数値数学. 20 (3): 247– 260. doi : 10.1016/0168-9274(95)00108-5 . ISSN 0168-9274 .
↑ Fehlberg, E. (1969年7月).ステップサイズ制御付き低次古典的ルンゲ・クッタ公式とその熱伝達問題への応用(NASA技術報告書R-315).
↑議論については以下を参照: Christopher A. Kennedy; Mark H. Carpenter (2016). "Diagonally Implicit Runge-Kutta Methods for Ordinary Differential Equations. A Review" . Technical Memorandum, NASA STI Program .
1 2 3 4 5ローラン・O・ジェイ（日付不明）著「ロバット法」アイオワ大学を参照。
↑エーレ (1969)

参考文献

Ehle, Byron L. (1969). On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems(PDF) (Thesis).
Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5.
Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4.

[butcher-1] 1 2ブッチャー、ジョン C. (2003).常微分方程式の数値解法. ジョン・ワイリー. ISBN 978-0-471-96758-3。

[ralston-2] 1 2 3 Ralston, Anthony (1962). "最小誤差限界を持つルンゲ・クッタ法" . Math. Comput . 16 (80): 431–437 . doi : 10.1090/S0025-5718-1962-0150954-0 .

[kutta-3] 1 2クッタ、マーティン(1901)。「Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen」。数学と物理学の時代。46 : 435–453 .

[4] Butcher, JC (1996-03-01). "ルンゲ・クッタ法の歴史" .応用数値数学. 20 (3): 247– 260. doi : 10.1016/0168-9274(95)00108-5 . ISSN 0168-9274 .

[5] Fehlberg, E. (1969年7月).ステップサイズ制御付き低次古典的ルンゲ・クッタ公式とその熱伝達問題への応用(NASA技術報告書R-315).

[6] 議論については以下を参照: Christopher A. Kennedy; Mark H. Carpenter (2016). "Diagonally Implicit Runge-Kutta Methods for Ordinary Differential Equations. A Review" . Technical Memorandum, NASA STI Program .

[Jay-7] 1 2 3 4 5ローラン・O・ジェイ（日付不明）著「ロバット法」アイオワ大学を参照。

[8] エーレ (1969)

[ 1 ]

[ 2 ] 。

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

ロバット法には主に 3 つの

[

明示的な方法

一次法

前進オイラー

二次法

一般的な二次法

明示的中点法

ヒューンの方法

ラルストンの方法

三次法

一般的な3次法

クッタの3次法

ヒューンの3次法

ラルストンの3次法

Van der Houwen と Wray の 3 次法

3次強安定性保持ルンゲ・クッタ法（SSPRK3）

4次法

古典的な4次法

3/8ルール4次法

ラルストンの4次法

5次法

ニストロームの5次法

埋め込みメソッド

ホイン＝オイラー

フェールベルクRK1(2)

ボガッキ・シャンパイン

フェールベルク

キャッシュ・カープ

ドーマンド＝プリンス

暗黙的メソッド

後方オイラー

暗黙の中間点

クランク・ニコルソン法

ガウス・ルジャンドル法

対角的に陰的なルンゲ・クッタ法

ロバットメソッド

ロバットIIIA法

ロバットIIIB法

ロバットIIIC法

ロバットIIIC*法

一般化されたロバット法

ラドー法

ラダウIA法

ラドーIIA法

注記

参考文献

関連するトピック

ルンゲ・クッタ法は、

常微分方程式

明示的

このページに記載されている各手法は、ブッチャー表