hベクトル

代数的組合せ論において、単体多面体のhベクトルは、異なる次元の面の数を符号化する多面体の基本不変量であり、デーン・ゾンマービル方程式を特に単純な形で表現することを可能にする。単体多面体のhベクトルの集合の特徴付けは、ピーター・マクマレン^{[1]によって予想され、}ルー・ビレラとカール・W・リー^{[2] [3]}およびリチャード・スタンレー^[4]によって証明された（g定理）。 hベクトルの定義は、任意の抽象単体複体に適用される。g予想は、単体球面に対して、すべての可能なhベクトルが、凸単体多面体の境界のhベクトルの中にすでに含まれていることを述べた。これは、2018 年 12 月にカリム・アディプラシトによって証明された。^{[5] [6]}

スタンレーは、任意の順位付き半順序集合に対して定義されるhベクトルの一般化であるトーリックhベクトルを導入し、オイラー半順序集合のクラスに対してデーン・ゾンマービル方程式が成立し続けることを証明しました。^[要出典] hベクトルの別の、より組み合わせ的な一般化として広く研究されているのは、順位付き半順序集合のフラグhベクトルです。オイラー半順序集合の場合、これはcdインデックスと呼ばれる 2 つの変数の非可換多項式によってより簡潔に表現できます。

Δを、次元d −1の抽象単体複体で、 f _i i次元面を持ち、f ₋₁ = 1であるとする。これらの数はΔのfベクトルに配置される。

${\displaystyle f(\Delta )=(f_{-1},f_{0},\ldots ,f_{d-1}).}$

Δ がd次元凸多面体 の境界である場合に、重要な特殊なケースが発生します。

k = 0, 1, …, dに対して、

${\displaystyle h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{ki}{\binom {di}{ki}}f_{i-1}.}$

タプル

${\displaystyle h(\Delta )=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})}$

はΔのhベクトルと呼ばれる。特に、、、およびであり、ここで、はのオイラー特性である。fベクトルとhベクトルは、線形関係によって一意に決定される 。${\displaystyle h_{0}=1}$${\displaystyle h_{1}=f_{0}-d}$${\displaystyle h_{d}=(-1)^{d}(1-\chi (\Delta ))}$${\displaystyle \chi (\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{di}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{ DK},}$

そこから、 については、 ${\displaystyle i=0,\dotsc ,d}$

${\displaystyle f_{i-1}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {dk}{ik}}h_{k}.}$

特に、R = k [Δ] をΔ のスタンレー・ライスナー環とすると、そのヒルベルト・ポアンカレ級数は次のように表される 。${\displaystyle f_{d-1}=h_{0}+h_{1}+\dotsb +h_{d}}$

${\displaystyle P_{R}(t)=\sum _{i=0}^{d}{\frac {f_{i-1}t^{i}}{(1-t)^{i}}}={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}.}$

これにより、クルル次元dの有限生成正次数代数のhベクトルを、分母が (1 −  t ) ^dであるヒルベルト・ポアンカレ級数の分子として定義することになります。

hベクトルは、凸格子多面体のh ^*ベクトルと密接に関連しています。Ehrhart多項式を参照してください。

-ベクトルは、再帰関係を使用して -ベクトルから計算できます。${\displaystyle \textstyle h}$${\displaystyle (h_{0},h_{1},\dotsc,h_{d})}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle (f_{-1},f_{0},\dotsc,f_{d-1})}$

${\displaystyle h_{0}^{i}=1,\qquad -1\leq i\leq d}$

${\displaystyle h_{i+1}^{i}=f_{i},\qquad -1\leq i\leq d-1}$

${\displaystyle h_{k}^{i}=h_{k}^{i-1}-h_{k-1}^{i-1},\qquad 1\leq k\leq i\leq d}$。

最後にを に設定します。小さな例では、この方法を使用して、パスカルの三角形に似た配列のエントリを再帰的に埋めることで、 -ベクトルを手動ですばやく計算できます。たとえば、八面体の境界複体を考えます。の -ベクトルはです。の -ベクトルを計算するには、最初にs を左辺に書き、-ベクトルを右辺に書き込むこと で、三角形配列を作成します。${\displaystyle \textstyle h_{k}=h_{k}^{d}}$${\displaystyle \textstyle 0\leq k\leq d}$${\displaystyle \textstyle h}$${\displaystyle \textstyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle (1,6,12,8)}$${\displaystyle \textstyle h}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d+2}$ ${\displaystyle \textstyle 1}$${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&&1&&6&\\&&&1&&&&12&\\&1&&&&&&8\\1&&&&&&&&0\end{matrix}}}$

(配列を三角形にするために設定します。) 次に、上から始めて、残りの各エントリの左上の隣接エントリを右上の隣接エントリから減算して埋めます。 このようにして、次の配列を生成します。 ${\displaystyle f_{d}=0}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&5&&12&\\&1&&4&&7&&8\\1&&3&&3&&1&&0\end{matrix}}}$

一番下の行の要素（最後の を除く）は -ベクトルの要素です。したがって、の -ベクトルはです。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \textstyle h}$${\displaystyle \textstyle h}$${\displaystyle \textstyle \Delta }$${\displaystyle \textstyle (1,3,3,1)}$

スタンレーは、任意の次数付き poset Pに、多項式f ( P , x ) とg ( P , x ) のペアを関連付けました。これらの定義は、すべてのy ∈ P 、 y ≠ 1 に対して区間 [0, y ]に関連付けられた多項式に関して再帰的であり、より低いランクの順位付き poset として見なされます (0 と 1 はPの最小と最大の要素を表します)。 f ( P、x )の係数は、 Pのトーリックhベクトルを形成します。Pが、 P − 1 が単体となるようなランクd + 1 のオイラー posetである場合、トーリックhベクトルは、指定されたランクi + 1 のP − 1の要素の数f _{i を}使用して構成される通常のhベクトルと一致

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}.}$

形容詞「トーリック」の理由は、Pが有理凸多面体の境界複体である場合に、トーリックhベクトルと特定の射影トーリック多様体Xの交差コホモロジーとの関連にある。つまり、成分はXの偶交差コホモロジー群の次元である。

${\displaystyle h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )}$

（ Xの奇交差コホモロジー群はすべてゼロである）。デーン・ゾンマーヴィル方程式は、Xの交差コホモロジーにおけるポアンカレ双対性の現れである。カル・カルは、多面体が有理数であるかどうかに関係なく、多面体のトーリックhベクトルは単峰性であることを証明した。 ^[7]

凸多面体のfベクトルとhベクトルの概念の異なる一般化が広く研究されている。を階数nの有限次数付き半集合とし、の各最大鎖の長さがnであるとする。のサブセットである任意の について、を、その階数が集合 を構成する鎖の数とする。より正式には、 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left\{0,\ldots ,n\right\}}$${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle rk:P\to \{0,1,\ldots ,n\}}$

のランク関数を、 をランク選択された部分集合 とします。これはのランクが である要素で構成されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle P_{S}=\{x\in P:rk(x)\in S\}.}$

すると、最大連鎖数は、関数 ${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$${\displaystyle P_{S}}$

${\displaystyle S\mapsto \alpha _{P}(S)}$

はPのフラグfベクトルと呼ばれる。関数

${\displaystyle S\mapsto \beta _{P}(S),\quad \beta _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}\alpha _{P}(S)}$

は の旗hベクトルと呼ばれる。包含排他原理により、 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \alpha _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}\beta _{P}(T).}$

の旗fベクトルとhベクトルは、その順序複素数の通常のfベクトルとhベクトルを改良する：^[8]${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta (P)}$

${\displaystyle f_{i-1}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\alpha _{P}(S),\quad h_{i}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\beta _{P}(S).}$

のフラグhベクトルは、非可換変数aとb の多項式で表示できます。 {1,…, n }の任意の部分集合に対して、 aとb の対応する単項式を定義します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle u_{S}=u_{1}\cdots u_{n},\quad u_{i}=a{\text{ for }}i\notin S,u_{i}=b{\text{ for }}i\in S.}$

このとき、 Pの旗hベクトルの非可換生成関数は次のように定義される。

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\sum _{S}\beta _{P}(S)u_{S}.}$

α _P ( S ) とβ _P ( S )の関係から、 Pのフラグfベクトルの非可換生成関数は

${\displaystyle \Psi _{P}(a,a+b)=\sum _{S}\alpha _{P}(S)u_{S}.}$

マーガレット・ベイヤーとルイ・ビレラは、オイラー等辺三角形Pの旗hベクトルの成分間に成立する最も一般的な線形関係を決定した。^[9]

ファインはこれらの関係を簡潔に表現する方法を指摘した。Pのcd指数と 呼ばれる非可換多項式_ΦP ( c , d )が存在し、

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\Phi _{P}(a+b,ab+ba).}$

スタンレーは、凸多面体の境界複体のcd指数のすべての係数が非負であることを証明した。彼は、この正値現象は、スタンレーがゴレンシュタイン*複体と呼び、単体球と完全扇形を含む、より一般的なオイラー半集合のクラスでも持続すると予想した。この予想は、カレ・カルーによって証明された。^[10]これらの非負係数の組み合わせ的意味 (「それらは何を数えるのか?」という質問に対する答え) は不明のままである。

• スタンレー、リチャード(1996)、「組合せ論と可換代数」、Progress in Mathematics、第 41 巻 (第 2 版)、ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston、Inc.、ISBN 0-8176-3836-9。
• スタンレー、リチャード（1997）、列挙的組合せ論、第1巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-55309-1。