オイラーの定理（微分幾何学）

微分幾何学の数学の分野において、オイラーの定理は、曲面上の曲線の曲率に関する定理です。この定理は、主曲率と、それに関連する主方向の存在を確立し、曲面が最も曲がる方向と最も曲がらない方向を示します。この定理は、 (Euler 1760) で定理を証明したレオンハルト オイラーにちなんで名付けられました。

より正確には、M を3次元ユークリッド空間内の面とし、p をM上の点とする。p を通る法平面とは、点p を通り、 Mへの法線ベクトルを含む平面である。pにおけるMへの各（単位）接線ベクトルには、 M内の曲線を切り出す法平面P _{X が}通る。その曲線は、P _X内の曲線とみなすと、ある曲率κ _{X を}持つ。すべての κ _Xが等しいわけではないが、 k ₁  = κ _{X 1}が最大となる単位ベクトルX ₁と、 k ₂  = κ _{X 2}が最大となる単位ベクトルX _{2が存在する。オイラーの定理は、} X ₁とX ₂は直交し、さらに、X がX ₁と角度 θ をなす任意のベクトルである場合、

k ₁とk _{2 は}主曲率と呼ばれ、X ₁とX _{2 は}対応する主方向です。式( 1 )はオイラーの方程式と呼ばれることもあります(Eisenhart 2004, p. 124)。

• 曲面の微分幾何学
• デュパンの指標

• アイゼンハート、ルーサー P. (2004)、曲線と曲面の微分幾何学に関する論文、ドーバー、ISBN 0-486-43820-11909 年の全文（現在は著作権切れ）
• オイラー、レオンハルト(1760)、「Recherches sur la courbure des surfaces」、Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin、16 (1767 年出版): 119–143。
• スピヴァック、マイケル（1999）、微分幾何学の包括的な入門、第2巻、Publish or Perish Press、ISBN 0-914098-71-3