オイラーの円板

オイラーの円盤は、ジョセフ・ベンディック^[1]によって1987年から1990年にかけて発明され、商標登録された科学教育玩具です。^{[2]平面または曲面上で回転および転がる円盤の}動的システムを図示および研究するために使用されます。いくつかの科学論文の主題となっています。^{[3]ベンディックは数学者}レオンハルト・オイラーにちなんでこの玩具に名前を付けました。^[4]

ジョセフ・ベンディクは、ヒューズ・エアクラフト社（カールスバッド研究センター）で働いていたとき、ある日の昼食時に机の上で重い研磨チャックを回転させたときに、回転ディスクの興味深い動きに初めて気づきました。

この装置は、3つの異なる密接に結合したプロセスにおけるエネルギー交換を劇的に視覚化したものです。ディスクが徐々に方位角回転を減少させると、ディスクの軸歳差運動の振幅も減少し、周波数も増加します。^[5]

ディスクの軸の歳差運動の進化は、ディスク上にマークされた 1 つの点を追ってディスクの側面を見ると、スローモーション ビデオで簡単に視覚化できます。ディスクの回転の進化は、ディスクの半径を表すディスク上に描かれた矢印を追ってディスクの上部を見ると、スローモーションで簡単に視覚化できます。

ディスクがユーザーによって与えられた最初のエネルギーを解放し、停止に近づくと、垂直軸の周りの回転が遅くなり、接触点の振動が増加します。上から照らされると、接触点と近くの下端が影になり、ディスクは停止する前に浮いているように見えます。

この市販のおもちゃは、重くて厚いクロムメッキのスチール ディスクと、硬くてわずかに凹んだ鏡面仕上げのベースで構成されています。付属のホログラフィック磁気ステッカーをディスクに貼り付けると、揺れの視覚効果を高めることができます。ただし、これらのアタッチメントにより、動作中のプロセスが見えにくくなり、理解しにくくなる可能性があります。

ディスクは平らな表面で回転すると、回転/回転運動を示し、ゆっくりとさまざまな速度と種類の運動を経て停止します。最も顕著なのは、ディスクが回転するにつれて、ディスクの対称軸の歳差運動速度が増加することです。ミラー ベースは低摩擦表面を提供し、わずかに凹んでいるため、ディスクが表面から「さまよう」ことはありません。

適度に平らな表面 (テーブルの上で回転するコインなど) で回転するディスクは、基本的にオイラー ディスクと同じ種類の動きを示しますが、その時間ははるかに短くなります。市販のディスクは、最適化されたアスペクト比と、回転/回転時間を最大化するために精密に研磨され、わずかに丸みを帯びたエッジ を備えており、この現象をより効果的に示します。

回転/回転するディスクは最終的に突然停止し、運動の最終段階では周波数が急速に増加するヒューという音が伴います。ディスクが回転すると、回転接触点は一定の角速度で振動する円を描きます。運動が非散逸的（摩擦なし）である場合、 は一定であり、運動は永久に継続します。これは観察とは矛盾しており、現実の状況では は一定ではありません。実際、対称軸の歳差運動率は、指数が約 -1/3 のべき乗法則でモデル化される有限時間特異点に近づきます（特定の条件によって異なります）。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

顕著な消散効果が 2 つあります。ディスクが表面に沿って滑るときの転がり摩擦と、空気の抵抗による空気抵抗です。実験では、消散と挙動は主に転がり摩擦によって決まることが示されています^[6]。真空中での実験では、空気が存在しないことが挙動にわずかしか影響しないのに対し、挙動 (歳差運動速度) は摩擦係数に系統的に依存することが示されています。角度が小さい限界 (つまり、ディスクの回転が停止する直前) では、空気抵抗 (具体的には粘性消散) が支配的な要因ですが、この最終段階の前は、転がり摩擦が支配的な効果です。

中心が静止している回転ディスクの挙動は、次のように記述できます。^[7]ディスクの中心から平面との接触点までの線を軸 と呼びます。ディスクの中心と接触点は瞬間的に静止しているため (滑りがないと仮定)、軸 は瞬間的な回転軸です。角運動量は で、これは質量 を持つ任意の薄い円対称ディスクに対して成立します。縁に質量が集中しているディスクの場合、均一なディスク (オイラーディスクなど) の場合、はディスクの半径、 はに沿った角速度です。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\displaystyle \mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k=1/2}$${\displaystyle k=1/4}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$

接触力はであり、は重力加速度、 は上向きの垂直軸です。質量中心のトルクはであり、 と書き直すことができます。角運動量 とディスクは両方とも垂直軸の周りを速度 で歳差運動していると結論付けることができます。${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle Mg{\widehat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {L} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=-{\frac {g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$

同時に、は平面との接触点の角速度です。 軸 がディスクの対称軸に沿って下向きに定義されると、 が成立します。ここで、 は水平面に対するディスクの傾斜角です。 角速度は 2 つの部分 で構成されていると考えることができます。ここで、 は対称軸に沿ったディスクの角速度です。 幾何学から、次のことが簡単に結論付けられます。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {1} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }}-\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf {z} }}+\omega _{\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}}$${\displaystyle \omega _{\text{rel}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&=\Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}}$$

式（１） に代入すると、最終的に${\displaystyle \omega =-\Omega \sin \alpha }$

断熱的にゼロに近づくと、接触点の角速度は非常に大きくなり、回転するディスクに関連する高周波音が発生します。しかし、コインの表面の図形の回転は、角速度がゼロに近づきます。総角速度もゼロになり、総エネルギーもゼロになります 。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega -\omega _{\text{rel}}=\Omega (1-\cos \alpha ),}$${\displaystyle \omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}}$

$${\displaystyle E=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}kMa^{2}\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2}{\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha }$$

がゼロに近づくにつれて、式（２）が成り立つ。 ${\displaystyle \alpha }$

がゼロに近づくと、ディスクは最終的にテーブルとの接触を失い、ディスクはすぐに水平面上に落ち着きます。周波数 の音が聞こえますが、図形の回転速度が遅くなると、周波数は と急激に高くなり、最後には音が突然止まります。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\frac {\Omega }{2\pi }}}$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\sqrt {\frac {1}{\sin \alpha }}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\frac {(\sin {\frac {\alpha }{2}})^{2}}{\sqrt {\sin \alpha }}}}$

円対称のディスクが安定すると、支持面上の固定点と上を移動するディスクの間の距離が、回転軸の垂直からの角度と同期して、増加する周波数で振動します。

浮遊錯視は、ディスクの端が支持面よりわずかに上向きに傾いているときに光を反射し、接触してわずかに下向きに傾いているときに影になっているときに生じます。影は知覚されず、支持面より上の端からの急速に点滅する反射が、一定の高さとして知覚されます。視覚の残像を参照してください。

ディスクが落ち着くときに影の線が高く保たれるように下端の曲線を最適化することで、浮遊の錯覚を強めることができます。鏡を使用すると、支持面を隠し、動くディスク面と鏡像を分離して見せることで、さらに効果を高めることができます。

影の中に見えるディスクの欠陥は、錯覚を妨げる可能性がありますが、動きによってぼやける皮膚のパターンに隠れている可能性があります。

きれいな米国の25セント硬貨（1970～2022年に鋳造）を平らな手鏡の上で回転させ、鏡面に近い側から見ると、数秒間この現象が見られます。

まもなく落ち着く四分の一の中心の真上にある点光源によって照らされた側面の尾根は、回転軸が観察者から離れているときには明るく照らされ、回転軸が観察者の方に向いているときには影になります。振動によって尾根がぼやけ、頭や尾根が短縮しすぎて回転が示されません。

2000年代初頭、2000年4月20日号のネイチャー誌^{に掲載された論文[4]}が研究のきっかけとなり、キース・モファットは、ディスクとテーブルの間の薄い空気層での粘性散逸が、観測された沈降プロセスの急激さを説明するのに十分であることを示した。また、この運動は有限時間特異点で終わることも示した。彼の最初の理論的仮説は、その後の研究によって否定され、転がり摩擦が実際には支配的な要因であることが示された。

モファットは、時間が特定の時間（数学的には積分定数）に近づくにつれて、粘性散逸が無限大に近づくことを示した。これが意味する特異性は実際には実現されない。なぜなら、垂直加速度の大きさは重力加速度を超えることができないからである（ディスクは支持面との接触を失う）。モファットはさらに、理論は最終的な沈降時間 の前の時点で破綻し、次式で表される ことを示す。${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle \tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{\frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{1/5}}$

ここで、はディスクの半径、は地球の重力による加速度、空気の動粘性、ディスクの質量です。市販のオイラーのディスク玩具 (以下の「外部リンク」のリンクを参照) の場合、は約秒で、このときコインと表面の間の角度 は約 0.005 ラジアン、回転角速度 は約 500 Hz です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 10^{-2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega }$

上記の表記法を使用すると、合計回転/回転時間は次のようになります。

${\displaystyle t_{0}={\frac {\alpha _{0}^{3}M}{2\pi \mu a}}}$

ここで は円板の初期傾斜角で、単位はラジアンである。モファットはまた、 の場合、 における有限時間特異点は次のように与えられること を示した。${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle t_{0}-t>\tau }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega \sim (t_{0}-t)^{-1/6}.}$

モファットの理論的な研究は、他の研究者に回転/回転するディスクの散逸メカニズムを実験的に調査するきっかけを与え、その結果は部分的に彼の説明と矛盾するものでした。これらの実験では、空気中と真空中の両方で、摩擦係数が異なるさまざまな形状 (ディスクとリング) の回転物体と表面を使用し、高速度写真などの機器を使用して現象を定量化しました。

2000年11月30日発行のネイチャー誌で、物理学者のファン・デン・エン、ネルソン、ローチは真空中でディスクを回転させる実験について論じている。^[8] ファン・デン・エンはオランダのコイン、ライクスダールダーを使用した。その磁気特性により、正確に決められた速度で回転することができた。彼らは、ディスクと表面の間の滑りが観測結果を説明できること、そして空気の有無がディスクの挙動にわずかしか影響しないことを発見した。彼らは、モファットの理論分析では真空中でのディスクの回転時間が非常に長くなると予測されるが、実際にはそうではないことを指摘した。

モファットは、どの散逸機構が支配的であるかを実験的に決定できる一般化された理論で応答し、小さい限界（すなわち、ディスクが落ち着く直前）では、支配的な散逸機構は常に粘性散逸であると指摘した。^[9]${\displaystyle \alpha }$

その後、グエルフ大学でPetrie、Hunt、Gray らが行った研究^[10]では、真空 (圧力 0.1パスカル) で実験を行っても、エネルギー散逸率に大きな影響はないことを示しました。Petrie らはまた、ディスクをリング形状に置き換えても散逸率にほとんど影響がなく、10° を超える角度では滑りなし条件が満たされることを示しました。Caps、Dorbolo、Ponte、Croisier、Vandewalle らによる別の研究^[11]では、空気はエネルギー散逸の小さな原因であると結論付けています。主なエネルギー散逸プロセスは、支持面上でのディスクの転がりと滑りです。傾斜角、歳差運動率、角速度はべき乗則に従うことが実験的に示されました。

2007年から2008年にかけて全米脚本家組合がストライキを行った際、トークショーの司会者コナン・オブライエン氏は何度か机の上で結婚指輪を回し、できるだけ長く回そうとしていた。回転時間をどんどん長くしようとしたオブライエン氏は、MITのピーター・フィッシャー教授を番組に招いて実験を行った。真空中で指輪を回転させても目立った変化はなかったが、テフロン製の回転支持面では51秒という記録的な時間を記録し、転がり摩擦が運動エネルギー散逸の主なメカニズムであるという主張を裏付けた。^[要出典] エネルギー散逸の主なメカニズムとしてのさまざまな種類の転がり摩擦が、ディスクの縁を越える接触点の動きによる摩擦抵抗が、秒単位の時間スケールでの主な散逸メカニズムである可能性が高いことを実験的に確認し たライネ氏^{[12] 。}

オイラーの円板は、2006 年の映画『スノー ケーキ』や、2017 年 2 月 16 日に放送されたテレビ番組『ビッグバン セオリー』シーズン 10 エピソード 16 に登場します。

2001年の映画「パール・ハーバー」の音響チームは、回転するオイラーの円盤を魚雷の音響効果として使用した。音響チームがオイラーの円盤で遊んでいる短い映像がアカデミー賞授賞式で上映された。^[13]

1960 年の映画「タイムマシン」では、オイラー円板の原理が、未来的な記録媒体としてテーブルの上に置かれた特別に作られたリングとともに使用されました。

• レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられたトピックのリスト
• ティッペトップ– 驚くべき動作を見せるもう一つの回転する物理玩具

• オイラーズディスク
• 回転するコインの物理学 (2000 年 4 月 20 日) PhysicsWeb
• 回転ディスクの運動の最終段階におけるエネルギー散逸の実験的および理論的調査 (2008 年 12 月 12 日) Arch Appl Mech
• Moffat's Disk に関するコメント (2002 年 3 月 31 日)
• 「オイラーの円板」。現実世界の物理学の問題。real-world -physics-problems.com。 2014年7月11日閲覧。ディスク運動の詳細な数理物理学的分析
• オイラーの円盤の動作を示す YouTube ビデオ