誤差範囲

誤差範囲とは、調査結果における無作為抽出誤差の量を表す統計量です。誤差範囲が大きいほど、世論調査の結果が全人口の同時調査の結果を反映しているという確信度は低くなります。母集団が不完全に抽出され、結果指標に正の分散がある場合、つまり指標が変動する場合、誤差範囲は正の値になります。

誤差範囲という用語は、調査以外の文脈では、測定値を報告する際の観測誤差を示すためによく用いられる。

単純なイエス/ノー投票を考えてみましょう${\textstyle P}$例として${\textstyle n}$回答者は母集団から抽出された${\textstyle N}$（と${\textstyle n\ll N}$) パーセンテージを報告する${\textstyle p}$はいの回答の件数。どれくらい近いかを知りたいです。${\textstyle p}$これは全人口を対象とした調査の真の結果である。${\textstyle N}$実際に調査を実施しなくても。仮に、もし私たちが世論調査を実施するとしたら${\textstyle P}$その後のサンプルでは${\textstyle n}$回答者（新たに抽出された${\textstyle N}$) その後の結果を期待します${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$正規分布する${\textstyle {\overline {p}}}$、真の割合だが不明な人口の割合。誤差範囲は、これらの結果の特定の割合が、からどれだけの範囲で変動すると予想されるかを示します。${\textstyle {\overline {p}}}$。

中心極限定理によれば、誤差範囲は、標本平均の分布（この場合は「はい」の割合）が標本サイズの増加に伴って正規分布に近似する様子を説明するのに役立ちます。これが当てはまる場合、それは標本抽出が偏りのないものであることを示していますが、データの本来の分布については言及していません。^{[ 1 ]}

68-95-99.7ルールによれば、結果の95%は${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$約2標準偏差の範囲内に収まる（${\textstyle \pm 2\sigma _{P}}$）真の平均の両側${\textstyle {\overline {p}}}$この区間は信頼区間と呼ばれ、半径（区間の半分）は誤差範囲と呼ばれ、95%の信頼水準に対応します。

一般的に、信頼水準では${\textstyle 1-2\alpha }$サンプルサイズ${\textstyle n}$期待標準偏差を持つ母集団${\textstyle \sigma }$誤差範囲がある

$${\displaystyle {\text{MOE}}_{1-2\alpha }=z_{1-\alpha }\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$$、

どこ${\textstyle z_{1-\alpha }}$は下位分位数（一般的にzスコアと呼ばれる）を表し、${\textstyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$は標準誤差です。たとえば、信頼水準95%を使用すると、次のようになります。${\textstyle \alpha }$= 0.025 および${\textstyle z_{1-\alpha }=z_{0.975}}$≈ 2。したがって、$\textstyle {\text{MOE}}_{0.95}\approx 2\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$明示的な信頼水準が指定されていない場合、最も一般的に使用される信頼水準は95%です。

正規分布値の平均を期待します${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$何らかの理由で標準偏差が変化する${\textstyle n}$小さいほど${\textstyle n}$マージンが広くなるほど、誤差も大きくなります。これは標準誤差と呼ばれます。${\textstyle \sigma _{\overline {p}}}$。

調査結果から得られた唯一の結果については、${\textstyle p={\overline {p}}}$、そしてその後のすべての結果${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$一緒に分散すると${\textstyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$:

$標準誤差 = σ_{\overline{p}} ≈ √{σ_P^2}{n}}} ≈ √{p(1-p)}{n}}}$。

ご了承ください${\textstyle p(1-p)}$これはベルヌーイ分布の分散に相当します。

信頼水準については${\displaystyle 1-2\alpha }$平均値に関する対応する信頼区間が存在する${\displaystyle \mu \pm z_{1-\alpha }\sigma }$つまり、区間${\displaystyle [\mu -z_{1-\alpha }\sigma ,\mu +z_{1-\alpha }\sigma ]}$その中で、${\displaystyle P}$確率で下がるはず${\displaystyle 1-2\alpha }$正確な値${\displaystyle z_{1-\alpha }}$これらは正規分布の分位関数によって与えられます（68-95-99.7ルールはこれを近似します）。

ご了承ください$\displaystyle z_{\gamma }}$未定義です${\displaystyle |\gamma |\geq 1}$つまり、${\displaystyle z_{1.00}}$は未定義です。${\displaystyle z_{1.10}}$。

以来${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$で${\displaystyle p=0.5}$任意に設定できます${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$計算する$\displaystyle \sigma _{P}}$、${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$、 そして${\displaystyle z_{\gamma }\sigma _{\overline {p}}}$最大誤差範囲を取得するために${\displaystyle P}$特定の信頼水準において${\displaystyle \gamma }$サンプルサイズ${\displaystyle n}$ 実際の結果が出る前から。${\displaystyle p=0.5,n=1013}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

また、報告されたあらゆる${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}{\text{MOE}}_{95}\approx 1.3\times {\text{MOE}}_{95}}$

世論調査で複数のパーセンテージ結果がある場合（例えば、単一の複数選択式の好みを測定する世論調査など）、50%に最も近い結果の誤差範囲が最も大きくなります。通常、この数値が世論調査全体の誤差範囲として報告されます。世論調査を想像してみてください。${\displaystyle P}$報道${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$として${\displaystyle 71\%,27\%,2\%,n=1013}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$（上の図のように）

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{b}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{b}(1-p_{b})}{n}}}=0.87/{\sqrt {n}}=\pm 2.7\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{c}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{c}(1-p_{c})}{n}}}=0.27/{\sqrt {n}}=\pm 0.8\%}$

ある割合が0%または100%といった極端な値に近づくにつれて、その誤差範囲は±0%に近づきます。

複数選択式のアンケートを想像してみてください${\displaystyle P}$報道${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$として${\displaystyle 46\%,42\%,12\%,n=1013}$上記のように、世論調査で報告される誤差範囲は通常次のようになります。${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})}$、 として${\displaystyle p_{a}}$50%に最も近いのはどれか。しかし、統計的同率または統計的デッドヒートという一般的な概念は、個々の結果の正確さではなく、結果の順位の正確さに関係している。1位はどれか？

仮に、世論調査を実施するとしたら${\displaystyle P}$その後のサンプルでは${\displaystyle n}$回答者（新たに抽出された${\displaystyle N}$）、そして結果を報告する${\displaystyle p_{w}=p_{a}-p_{b}}$差の標準誤差を使って、${\displaystyle p_{w_{1}},p_{w_{2}},p_{w_{3}},\ldots }$約${\displaystyle {\overline {p_{w}}}}$そのためには、分散の合計を適用して新しい分散を得る必要があります。${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$、

${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}=\sigma _{P_{a}-P_{b}}^{2}=\sigma _{P_{a}}^{2}+\sigma _{P_{b}}^{2}-2\sigma _{P_{a},P_{b}}=p_{a}(1-p_{a})+p_{b}(1-p_{b})+2p_{a}p_{b}}$

どこ${\displaystyle \sigma _{P_{a},P_{b}}=-P_{a}P_{b}}$は共分散です${\displaystyle P_{a}}$そして${\displaystyle P_{b}}$。

したがって（簡略化すると）、

${\displaystyle {\text{Standard error of difference}}=\sigma _{\overline {w}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P_{w}}^{2}}{n}}}={\sqrt {\frac {p_{a}+p_{b}-(p_{a}-p_{b})^{2}}{n}}}=0.029,P_{w}=P_{a}-P_{b}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx \pm {3.1\%}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{w})=z_{0.95}\sigma _{\overline {w}}\approx \pm {5.8\%}}$

これは以下のことを前提としていることに注意してください。${\displaystyle P_{c}}$はほぼ一定であり、つまり、A または B を選択した回答者は C を選択することはほとんどない（したがって、${\displaystyle P_{a}}$そして${\displaystyle P_{b}}$ほぼ完全に負の相関関係にある）。3つ以上の選択肢が拮抗している場合、正しい式を選択することは、${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$さらに複雑になる。

上記の誤差範囲の式は、母集団が無限に大きいことを前提としており、したがって母集団の規模には依存しない。${\displaystyle N}$ただし、サンプルサイズのみ${\displaystyle n}$標本抽出理論によれば、標本抽出率が小さい場合、この仮定は妥当である。標本抽出率が小さい限り、対象となる母集団の規模が学校、都市、州、国など、どのような規模であっても、特定の標本抽出方法における誤差範囲は本質的に同じである。

サンプリング率が大きい場合（実際には 5% 以上）、アナリストは、母集団のより大きな割合をサンプリングすることによって得られる精度の向上を考慮して、有限母集団補正を使用して誤差範囲を調整することがあります。FPC は次の式を使用して計算できます^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\text{FPC}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$

…そして、もし投票が${\displaystyle P}$例えば、30万人の有権者のうち24％を対象に実施された調査では、

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}=\pm 0.4\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95_{FPC}}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}{\sqrt {\frac {300,000-72,000}{300,000-1}}}=\pm 0.3\%}$

直感的に、適切な大きさの場合${\displaystyle N}$、

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx 1}$

${\displaystyle \lim _{n\to N}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}=0}$

前者の場合、${\displaystyle n}$誤差が非常に小さいため、修正の必要がない。後者の場合、世論調査は事実上国勢調査となり、標本誤差は問題とならなくなる。

• エンジニアリング公差
• 重要な関連性
• 測定不確かさ
• ランダムエラー

• サドマン、シーモア、ブラッドバーン、ノーマン（1982）。質問の仕方：質問票設計の実践ガイド。サンフランシスコ：ジョシー・バス。ISBN 0-87589-546-8
• ウォナコット、TH; RJ ウォナコット (1990).入門統計学(第 5 版). ワイリー. ISBN 0-471-61518-8。

• 「誤差の理論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイススタイン、エリック・W. 「誤差範囲」 . MathWorld .