一般化相対エントロピー

一般化された相対エントロピー（${\displaystyle \varepsilon }$（相対エントロピー）は、2つの量子状態間の類似性の尺度です。これは量子相対エントロピーの「一回限りの」類似物であり、後者の量と多くの特性を共有しています。

量子情報理論の研究では、情報処理タスクが独立に複数回繰り返されることを前提とするのが一般的です。そのため、対応する情報理論の概念は漸近極限で定義されます。典型的なエントロピー尺度であるフォン・ノイマンエントロピーは、そのような概念の一つです。一方、ワンショット量子情報理論の研究では、タスクが一度だけ実行される場合の情報処理を扱います。このようなシナリオでは、従来の概念ではリソース要件を正確に特徴づけることができなくなるため、新しいエントロピー尺度が出現します。${\displaystyle \varepsilon }$相対エントロピーは、特に興味深い指標の一つである。

漸近シナリオでは、相対エントロピーはそれ自体が重要な尺度であるだけでなく、他の尺度の親量としても機能します。同様に、${\displaystyle \varepsilon }$相対エントロピーは、ワンショットシナリオにおける他の尺度の親量として機能する。

定義を促すために${\displaystyle \varepsilon }$相対エントロピー$${\displaystyle D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )}$$仮説検定の情報処理タスクを考えてみましょう。仮説検定では、2 つの密度演算子を区別するための戦略を考案したいと考えています。${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle \sigma }$戦略は要素を持つPOVMである${\displaystyle Q}$そして${\displaystyle IQ}$入力に対して戦略が正しい推測を生成する確率${\displaystyle \rho }$は${\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho Q)}$そして、それが間違った推測を生み出す確率は次のように与えられる。${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma Q)}$。${\displaystyle \varepsilon }$相対エントロピーは、状態が${\displaystyle \sigma }$成功確率を考慮すると、${\displaystyle \rho }$少なくとも${\displaystyle \varepsilon }$。

のために${\displaystyle \varepsilon \in (0,1)}$、${\displaystyle \varepsilon }$-2つの量子状態間の相対エントロピー${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle \sigma }$は次のように定義される。 $$${\displaystyle D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )=-\log {\frac {1}{\varepsilon }}\min \left\{\left\langle Q,\sigma \right\rangle |0\leq Q\leq I{\text{ および }}\left\langle Q,\rho \right\rangle \geq \varepsilon \right\}~.}$$

定義から明らかなように、${\displaystyle D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )\geq 0}$この不等式は、以下の場合に限り飽和する。${\displaystyle \rho =\sigma }$以下に示すように。

2 つの密度演算子間のトレース距離を仮定します。${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle \sigma }$は $${\displaystyle {\left\|\rho -\sigma \right\|}_{1}=\delta ~.}$$

のために ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$次のように主張する $${\displaystyle \log {\frac {\varepsilon }{\varepsilon -(1-\varepsilon )\delta }}\quad \leq \quad D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )\quad \leq \quad \log {\frac {\varepsilon }{\varepsilon -\delta }}~.}$$

特に、これはピンスカーの不等式の次の類似を意味する^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\frac {1-\varepsilon }{\varepsilon }}{\left\|\rho -\sigma \right\|}_{1}\quad \leq \quad D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )~.}$$

さらに、この命題は、任意の${\displaystyle \varepsilon \in (0,1)}$、${\displaystyle D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )=0}$かつその場合に限り${\displaystyle \rho =\sigma }$トレース距離からこの性質を受け継いでいる。この結果とその証明は、Dupuis et al. ^{[ 2 ]に記載されている。}

フォン・ノイマンエントロピーの基本的な性質は、強い劣加法性である。${\displaystyle S(\sigma )}$量子状態のフォン・ノイマンエントロピーを表す${\displaystyle \sigma }$、そして${\displaystyle \rho _{ABC}}$テンソル積ヒルベルト空間上の量子状態である${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}\otimes {\mathcal {H}}_{C}}$強い劣加法性とは、 $${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$$ どこ${\displaystyle \rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}}$添え字で示される空間上の縮約密度行列を参照します。相互情報量の観点から書き直すと、この不等式は直感的に解釈できます。それは、システム内の情報量は、そのシステムに対する局所的な量子操作の作用によって増加できないことを示しています。この形式では、データ処理不等式としてよく知られており、量子操作の下での相対エントロピーの単調性と同等です。^{[ 3 ]}$${\displaystyle S(\rho \|\sigma )-S({\mathcal {E}}(\rho )\|{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq 0}$$CPTPマップ ごとに${\displaystyle {\mathcal {E}}}$、 どこ${\displaystyle S(\omega \|\tau )}$は量子状態の相対エントロピーを表す。${\displaystyle \omega ,\tau }$。

容易にわかるように、${\displaystyle \varepsilon }$-相対エントロピーも量子操作の下で単調性に従う: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )\geq D^{\varepsilon }({\mathcal {E}}(\rho )\|{\mathcal {E}}(\sigma ))}$$任意のCPTPマップについて${\displaystyle {\mathcal {E}}}$これを確認するには、POVMがあると仮定します。${\displaystyle (R,I-R)}$区別するために${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$そして${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )}$そのため${\displaystyle \langle R,{\mathcal {E}}(\rho )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\rho \rangle \geq \varepsilon }$新しいPOVMを構築します${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\dagger }(R),I-{\mathcal {E}}^{\dagger }(R))}$区別するために${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle \sigma }$任意の CPTP マップの随伴も正かつ単位的であるため、これは有効な POVM です。${\displaystyle \langle R,{\mathcal {E}}(\sigma )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\sigma \rangle \geq \langle Q,\sigma \rangle }$、 どこ${\displaystyle (Q,I-Q)}$達成するPOVMは${\displaystyle D^{\varepsilon }(\rho \|\sigma )}$これはそれ自体興味深いだけでなく、データ処理の不等式を証明するための次の代替方法も提供してくれる。^{[ 2 ]}

スタインの補題の量子版により、^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}D^{\varepsilon }\left(\rho ^{\otimes n}\|\sigma ^{\otimes n}\right)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {-1}{n}}\log \min {\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {Tr} \left(\sigma ^{\otimes n}Q\right)\\&=D(\rho \|\sigma )-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\left(\log {\frac {1}{\varepsilon }}\right)\\&=D(\rho \|\sigma )~,\end{aligned}}}$$

最小値が取られる${\displaystyle 0\leq Q\leq 1}$そのため${\displaystyle \operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \varepsilon ~.}$

データ処理不等式を各状態に適用する${\displaystyle \rho ^{\otimes n}}$そして${\displaystyle \sigma ^{\otimes n}}$CPTPマップ付き${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\otimes n}}$そうすれば $${\displaystyle D^{\varepsilon }(\rho ^{\otimes n}\|\sigma ^{\otimes n})~\geq ~D^{\varepsilon }({\mathcal {E}}(\rho )^{\otimes n}\|{\mathcal {E}}(\sigma )^{\otimes n})~.}$$ で割る${\displaystyle n}$両側で限界を取ると${\displaystyle n\rightarrow \infty }$そうすれば、望ましい結果が得られます。

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