エネルギー放出率（破壊力学）

破壊力学において、エネルギー解放率とは、材料が破壊するときにエネルギーが変換される速度である。数学的には、エネルギー解放率は、破壊面積の増加あたりの全位置エネルギーの減少として表され、 ^{[1] [2]}、したがって単位面積あたりのエネルギーで表される。破壊中に放出されるエネルギーと、結果として生じる新しい表面のエネルギー、および可塑性や発熱などの他の散逸プロセスとを関連付けて、さまざまなエネルギーバランスを構築することができる。エネルギー解放率は、破壊力学の分野で、破壊や疲労に関連する問題を解決し、材料特性を推定する際に中心的な役割を果たしている。 ${\displaystyle G}$

エネルギー解放率は^[3]単位亀裂成長面積あたりの全位置エネルギーの瞬間損失として定義され、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle G\equiv -{\frac {\partial \Pi }{\partial s}},}$

ここで、全位置エネルギーは、全ひずみエネルギー、表面牽引力、変位、および体積力によって 次のように表される。${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$

${\displaystyle \Pi =\Omega -\left\{\int _{{\mathcal {S}}_{t}}\mathbf {t} \cdot \mathbf {u} \,dS+\int _{\mathcal {V}}\mathbf {b} \cdot \mathbf {u} \,dV\right\}.}$

最初の積分は物質の表面積に対して行われ、2 番目の積分は物質の体積に対して行われます。 ${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle V}$

右の図は、外力と荷重点変位の関係をプロットしたもので、曲線の下の領域がひずみエネルギーです。曲線と軸の間の白い領域は補完エネルギーと呼ばれます。線形弾性材料の場合、は直線となり、ひずみエネルギーは補完エネルギーに等しくなります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(q)}$

規定変位の場合、ひずみエネルギーは規定変位と亀裂面積で表すことができ、このひずみエネルギーの変化は破壊面積の変化によってのみ影響を受ける：。これに応じて、この場合のエネルギー解放率は次のように表される^[3]。${\displaystyle \Omega (q,s)}$${\displaystyle \delta \Omega =(\partial \Omega /\partial s)\delta s}$

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{q}.}$

ここで、ひずみエネルギー解放率を正確に参照することができます。 ${\displaystyle G}$

変位の代わりに荷重が規定される場合、ひずみエネルギーは次のように修正される必要がある。エネルギー解放率は次のように計算される^[3]。${\displaystyle \Omega (q(P,s),s)}$

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$

材料が線形弾性である場合、次のように書くこともできる。 ${\displaystyle \Omega =Pq/2}$

${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{P}.}$

2次元の問題の場合、亀裂成長面積の変化は、亀裂長さの変化と試験片の厚さの積に過ぎません。つまり、 です。したがって、計算式は2Dの場合に次のように変更できます。 ${\displaystyle \partial s=B\partial a}$${\displaystyle G}$

• 規定変位:${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{q}.}$
• 規定荷重:${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$
• 規定荷重、線形弾性:${\displaystyle G=\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{P}.}$

詳細は、次のセクションに埋め込まれている計算例を参照してください。ひずみエネルギーは、単位厚さあたりのエネルギーを使用して表されることがあります。これは、 ${\displaystyle U=\Omega /B}$

• 規定変位:${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{q}.}$
• 規定荷重:${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(U-{\frac {Pq}{B}}\right).}$
• 規定荷重、線形弾性:${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{P}.}$

エネルギー解放率は、亀裂が真っ直ぐに成長する場合、与えられた2次元荷重モード（モードI、モードII、またはモードIII ）に関連する応力集中係数に直接関係しています。 ^{[3]これは、}平面応力、平面ひずみ、および面外せん断を受ける亀裂に適用されます。

モードIの場合、エネルギー解放率は線形弾性材料の モードI応力拡大係数と次の式で関係している。${\displaystyle G}$${\displaystyle K_{I}}$

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}},}$

ここで、材料が平面応力を受けているか平面ひずみを受けているかに応じて、 ヤング率とポアソン比に関係します。${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle E'={\begin{cases}E,&\mathrm {plane~stress} ,\\\\{\dfrac {E}{1-\nu ^{2}}},&\mathrm {plane~strain} .\end{cases}}}$

モードIIの場合、エネルギー放出率は同様に次のように表される。

${\displaystyle G={\frac {K_{II}^{2}}{E'}}.}$

モードIII（面外せん断）の場合、エネルギー解放率はせん断弾性係数 の関数となり、 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle G={\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

すべての荷重モードの任意の組み合わせに対して、これらの線形弾性解は次のように重ね合わせることができる。

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

亀裂の成長は、エネルギー解放率が材料特性である臨界値を超えたときに開始されます。 ${\displaystyle G_{c}}$

${\displaystyle G\geq G_{c},}$

モードIの負荷下では、臨界エネルギー解放率は、別の材料特性である モードIの破壊靭性と次のように関係付けられます。${\displaystyle G_{c}}$ ${\displaystyle K_{IC}}$

${\displaystyle G_{c}={\frac {K_{IC}^{2}}{E'}}.}$

材料特性、試験片の形状、および荷重条件に基づいてエネルギー解放率を計算する方法はさまざまあります。材料が完全に弾性であるか、または線形弾性であるか、または亀裂が真っ直ぐに伸びる必要があるなど、特定の基準を満たす必要がある方法もあります。任意に機能する唯一の方法は、総ポテンシャル エネルギーを使用する方法です。2 つの方法が両方とも適用可能な場合、同じエネルギー解放率が得られるはずです。

任意の条件を計算する唯一の方法は、総ポテンシャル エネルギーを計算し、それを亀裂表面積で微分することです。これは通常、次のように行われます。 ${\displaystyle G}$

• 荷重から生じる応力場を計算する、
• 応力場から生じる材料のひずみエネルギーを計算する。
• 外部荷重による仕事量を計算する

すべて亀裂表面積に関してです。

材料が線形弾性である場合、エネルギー放出率の計算は大幅に簡素化されます。この場合、荷重対荷重点変位曲線は正の傾きを持つ直線となり、適用される単位力あたりの変位はコンプライアンスとして定義されます。^[3]${\displaystyle C}$

${\displaystyle C={\frac {q}{P}}.}$

対応するひずみエネルギー（曲線の下の面積）は^{[3]に等しい。}${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}Pq={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}P^{2}C.}$

^{コンプライアンス法を用いると、規定荷重と変位の両方の場合のエネルギー放出率は[3]}となることが示される。

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}P^{2}{\frac {\partial C}{\partial s}}.}$

規定変位の場合、亀裂長さを固定すると、エネルギー解放率は^{[3]で計算できる。}

${\displaystyle G=-\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq,}$

一方、規定荷重の場合、^[3]

${\displaystyle G=\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

ご覧のとおり、どちらの場合も、エネルギー放出率と表面積の変化を掛けると曲線間の面積が返され、右の図に示すように新しい表面積で消費されたエネルギーを示します^[3]${\displaystyle G}$${\displaystyle ds}$

${\displaystyle Gds=-ds\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq=ds\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

エネルギー解放率は、亀裂表面の成長に対する全ポテンシャルエネルギーの負の微分として定義されるため、エネルギー解放率は亀裂成長前と成長後のポテンシャルエネルギーの差として表すことができます。慎重に導出すると、亀裂閉鎖積分^{[3]が得られます。}

${\displaystyle G=\lim _{\Delta s\to 0}-{\frac {1}{\Delta s}}\int _{\Delta s}{\frac {1}{2}}\,t_{i}^{0}\left(\Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}\right)\,dS,}$

ここで、は新しい破断面積、は亀裂が成長するにつれて上部の破断面で解放される牽引力の成分、は亀裂開口変位の成分（上部亀裂表面と下部亀裂表面間の変位増分の差）、積分は材料の表面上で行われます。 ${\displaystyle \Delta s}$${\displaystyle t_{i}^{0}}$${\displaystyle \Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}}$${\displaystyle S}$

亀裂閉包積分は弾性材料にのみ有効であるが、どの方向に成長する亀裂にも有効である。しかし、実際にまっすぐ成長する2次元亀裂の場合、亀裂閉包積分は次のように簡略化される^{[3] 。}

${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{0}^{\Delta a}\sigma _{i2}(x_{1},0)u_{i}(\Delta a-x_{1},\pi )\,dx_{1},}$

ここで は新しい亀裂長さであり、変位成分は極座標との関数として表されます。 ${\displaystyle \Delta a}$${\displaystyle r=\Delta a-x_{1}}$${\displaystyle \theta =\pi }$

特定の状況では、エネルギー放出率はJ積分、すなわち^[3]を使用して計算できる 。${\displaystyle G}$${\displaystyle G=J}$

${\displaystyle J=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{i}\,{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma ,}$

ここで、は弾性ひずみエネルギー密度、は線積分に使用される曲線に垂直な単位ベクトルの成分、は牽引力ベクトル の成分、 は応力テンソル、 は変位ベクトルの成分です。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle u_{i}}$

この積分は単純な閉じた経路上ではゼロであり、経路に依存しないため、亀裂面から始まり亀裂面で終わる任意の単純な経路を使用して を計算することができます。エネルギー解放率を J 積分 に等しくするには、次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle G=J}$

• 亀裂は真っ直ぐに伸びていなければならない、そして
• 亀裂付近の変形（ で囲まれた部分）は弾性変形（塑性変形ではない）でなければならない。${\displaystyle \Gamma }$

J積分はこれらの条件に違反した状態で計算できるが、その場合、 。これらの条件に違反していない場合は、エネルギー解放率とJ積分を弾性係数と応力集中係数に関連付けることができます^[3]${\displaystyle G\neq J}$

${\displaystyle G=J={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

有限要素法による計算にはいくつかの方法があります。J積分の直接計算は可能ですが( FEAによって出力されたひずみと応力を使用)、ある種の亀裂成長に対する近似アプローチが存在し、簡単な計算で妥当な精度が得られます。このセクションでは、数値シミュレーションを利用した比較的単純な破壊解析の方法について詳しく説明します。 ${\displaystyle G}$

亀裂が真っ直ぐ成長している場合、エネルギー解放率は、3 つのモードそれぞれにおけるエネルギーに関連する3 つの項の合計として分解できます。その結果、節点解放法 (NR) を使用して、 FEA 結果から決定できます。エネルギー解放率は、初期長さで亀裂の有限要素メッシュの節点で計算され、小さな距離 だけ延長されます。まず、対象の節点(亀裂先端の節点が解放される前と解放された後) での変位変化を計算します。次に、FEA によって出力される節点力を追跡します。最後に、次の式を使用して の各コンポーネントを見つけることができます。${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \Delta a}$${\displaystyle \Delta {\vec {u}}={\vec {u}}^{(t+1)}-{\vec {u}}^{(t)}}$${\displaystyle {\vec {F}}}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle G_{1}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{2}{\frac {\Delta u_{2}}{2}}}$$$${\displaystyle G_{2}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{1}{\frac {\Delta u_{1}}{2}}}$$$${\displaystyle G_{3}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{3}{\frac {\Delta u_{3}}{2}}}$$ここで、 は亀裂の先端を囲む要素の幅です。この方法の精度はメッシュの細分化に大きく依存します。これは、変位と力がメッシュの細分化に依存することと、 のためです。上記の式は亀裂閉包積分を使用して導出されることに注意してください。 ${\displaystyle \Delta a}$${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{NR}}}$

エネルギー解放率が臨界値を超えると、亀裂は成長します。この場合、亀裂先端のノードが解放される新しいFEAシミュレーションが（次のタイムステップで）実行されます。境界のある基板の場合、前のタイムステップの亀裂先端ノードで固定ディリクレ境界条件の適用を停止するだけで済みます（つまり、変位は拘束されなくなります）。対称亀裂の場合、より長い亀裂開口部でドメインの形状を更新する必要があります（したがって、新しいメッシュを生成します^[5]）。

節点解放法と同様に、修正き裂閉口積分法（MCCI）は、FEA節点変位と力を利用してエネルギー解放率を計算する方法です。^{[6] [7]}ここで、は亀裂先端を原点とする直交座標基底ベクトルに対応する方向を表し 、は節点指数を表します。MCCIは、亀裂成長の増分ごとに1つの解析のみを必要とするため、節点解放法よりも計算効率が優れています。 ${\displaystyle (u_{i}^{j})}$${\displaystyle (F_{i}^{j})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

MCCI 法の必要条件は、方向の亀裂面に沿った要素の長さが均一であることです。さらに、この方法では、1 つの要素の長さにわたって応力場が自己相似になるように十分な離散化が必要です。これは、亀裂が伝播するにつれて になることを意味します。以下は、2 種類の一般的な有限要素を使用した MCCI 法の例です。 ${\displaystyle (\Delta a)}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle K(a+\Delta a)\approx K(a)}$

図 2 に示す 4 ノードの正方形線形要素では、ノード間の距離とが等しくなります。先端がノードにある亀裂について考えます。ノード解放法と同様に、亀裂が対称線に沿って ( -軸に平行に) 1 要素の長さだけ伝播する場合、亀裂開口変位は前の亀裂先端の変位、つまり になり、新しい亀裂先端の力はになります。亀裂の成長は自己相似であると想定されるため、亀裂が伝播した後のノードでの変位は、亀裂が伝播する前のノードでの変位と等しくなります。この同じ概念は、ノードとでの力にも適用できます。ノード解放セクションで示したのと同じ方法を使用して、エネルギー解放率に関する次の式を復元します。${\displaystyle j}$${\displaystyle j+1}$${\displaystyle \Delta a.}$${\displaystyle j.}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u^{j}}}}$${\displaystyle (j+1)}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{j+1}.}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j-1}$${\displaystyle j+1}$${\displaystyle j.}$

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-1}}}$

ここで（それぞれ亀裂面の上と下の変位）。亀裂に平行な対称線があるので、次のように仮定できる。${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=u_{i}^{(+)j-1}-u_{i}^{(-)j-1}}$${\displaystyle u_{i}^{(+)j-1}=-u_{i}^{(-)j-1}.}$

したがって、${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=2u_{i}^{(+)j-1}.}$

図 3 に示す 8 ノードの長方形要素には、2 次基底関数があります。G を計算するプロセスは、 (1 つの要素上の亀裂成長) がノードからまでの距離になることを除いて、4 ノード要素と同じです。ここでも、自己相似直線亀裂成長を仮定すると、次の式を使用してエネルギー解放率を計算できます。${\displaystyle \Delta a}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j+2.}$

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-2}}+F_{2}^{j+1}{\Delta u_{2}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-2}}+F_{1}^{j+1}{\Delta u_{1}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-2}}+F_{3}^{j+1}{\Delta u_{3}^{j-1}}\right)}$

ノード解放法と同様に、MCCI の精度は、亀裂先端に沿った離散化のレベルに大きく依存します。つまり、精度は要素の選択にも依存します。8 ノードの二次要素のメッシュは、メッシュ内の 自由度が同じ数の 4 ノードの線形要素のメッシュよりも正確な結果を生成できます^{[8] 。}${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{MCCI}}.}$

J積分は有限要素メッシュと形状関数を用いて直接計算することができる。^[9]図4に示すような領域輪郭を考え、および と なる ような任意の滑らかな関数を選択する。 ${\displaystyle {\tilde {q}}(x_{1},x_{2})=\sum _{i}N_{i}(x_{1},x_{2}){\tilde {q}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {q}}=1}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\tilde {q}}=0}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$

直線的に成長する弾性亀裂の場合、エネルギー解放率は、更新された定式を使用して、輪郭で囲まれた領域全体で計算できます。 ${\displaystyle G=J}$${\displaystyle J=\int _{\mathcal {A}}(\sigma _{ij}u_{i,1}{\tilde {q}}_{,j}-W{\tilde {q}}_{,1})d{\mathcal {A}}}$

上記の式は、亀裂の先端を囲む任意の環状領域に適用できます（特に、隣接する要素のセットを使用できます）。この方法は、亀裂の先端の周りの粗いメッシュであっても非常に正確です（応力と変位がメッシュの細分化にあまり影響されない、遠くにある積分領域を選択することもできます）。

エネルギー解放率を計算するための上記の方法は、離散化を増やすことで実際の解に漸近しますが、亀裂先端の特異点を完全には捉えることができません。亀裂先端の周囲に 1/4 ポイント要素を使用すると、より正確なシミュレーションを実行できます。^[10]これらの要素には、亀裂先端の周囲に応力場をより正確に生成する組み込みの特異点があります。1/4 ポイント法の利点は、より粗い有限要素メッシュが可能になり、計算コストが大幅に削減されることです。さらに、これらの要素は、解析用の特別な計算プログラムを必要とせず、一般的な有限要素に小さな変更を加えることで得られます。このセクションでは弾性材料を検討しますが、この方法は弾塑性破壊力学に拡張できます。^{[11] [12] [13] [14]}完全な弾性を想定すると、応力場は亀裂先端の特異点を経験します。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$

8節点の2次要素は、図5のように親空間のローカル座標とで表され、マッピングされた要素は物理/グローバル空間でとで表されます。親要素は、形状関数と自由度座標によってローカル空間から物理空間にマッピングされます。亀裂の先端は、または にあります。${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta )}$${\displaystyle (x_{i},y_{i}).}$${\displaystyle \xi =-1,\eta =-1}$${\displaystyle x=0,y=0.}$

${\displaystyle x(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )x_{i}}$

${\displaystyle y(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )y_{i}}$

同様の方法で、変位（ として定義）もマッピングできます。${\displaystyle u\equiv u_{1},v\equiv u_{2}}$

${\displaystyle u(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )u_{i}}$

${\displaystyle v(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )v_{i}}$

有限要素法における形状関数の特性として、コンパクトなサポート、具体的にはクロネッカーのデルタ特性（つまり、節点では0 、その他の節点では0）がある。これにより、8節点の2次要素の形状関数は次のようになる：^[8]${\displaystyle N_{i}=1}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle N_{1}={\frac {-(\xi -1)(\eta -1)(1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{2}={\frac {(\xi +1)(\eta -1)(1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{3}={\frac {(\xi +1)(\eta +1)(-1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{4}={\frac {-(\xi -1)(\eta +1)(-1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{5}={\frac {(1-\xi ^{2})(1-\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{6}={\frac {(1+\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

${\displaystyle N_{7}={\frac {(1-\xi ^{2})(1+\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{8}={\frac {(1-\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

亀裂の前の線が - 軸と共線的である場合（すなわち）、すべての基底関数はゼロになるが、${\displaystyle x}$${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta =-1)}$${\displaystyle N_{1,2,5}.}$

${\displaystyle N_{1}(\xi ,-1)=-{\frac {\xi (1-\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{2}(\xi ,-1)={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{5}(\xi ,-1)=(1-\xi ^{2})}$

法線ひずみを計算するには、連鎖律を使用して変位を微分します。${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}=\sum _{i=1,2,5}{\frac {\partial N_{i}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}u_{i}}$

長方形要素上で節点が均等に配置されている場合、ひずみは特異点を含みません。 図 5 に示すように、節点 5 と 8 の位置を要素の長さの 4 分の 1 に移動して亀裂の先端に近づけると、マッピングは次のようになります。${\displaystyle ({\tfrac {L}{4}})}$${\displaystyle \xi \rightarrow x}$

${\displaystyle x(\xi )={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}L+(1-\xi ^{2}){\frac {L}{4}}}$

を解いて導関数をとると次のようになります。${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (x)=-1+2{\sqrt {\frac {x}{L}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}}$

この結果をひずみの式に代入すると、最終結果が得られます。

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {4}{L}}\left({\frac {u_{2}}{2}}-u_{5}\right)+{\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left(2u_{5}-{\frac {u_{2}}{5}}\right)}$

中間ノードを 1/4 の位置に移動すると、正しい亀裂先端の特異点が得られます。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$

長方形要素法では、特異要素を亀裂の先端の周りに簡単にメッシュ化することができません。そのため、亀裂経路を決定する上で重要な、応力場の角度依存性を捉えることができません。また、要素のエッジに沿った部分を除き、 特異点は亀裂の先端近くの非常に狭い領域に存在します。図 6 は、この特異点をモデル化する別の 1/4 ポイント法を示しています。8 ノードの長方形要素は三角形にマッピングできます。^[15]これは、線上のノードを中間ノードの位置に折りたたんで、中間ノードを1/4 ポイントの位置に移動することによって行われます。折りたたまれた長方形は亀裂の先端をより簡単に囲むことができますが、要素のエッジが直線でなければ、応力集中係数の計算精度が低下します。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$${\displaystyle \xi =-1}$${\displaystyle \eta =\pm 1}$

1/4 ポイント法のより適切な候補は、図 7 に示すような自然三角形です。要素の形状により、亀裂の先端を簡単に囲むことができ、メッシュ作成が簡素化されます。上記と同じ手順に従うと、三角形要素の変位とひずみフィールドは次のようになります。

${\displaystyle u=u_{3}+{\sqrt {\frac {x}{L}}}\left[4u_{6}-3u_{3}-u_{1}\right]+{\frac {x}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left[-{\frac {u_{1}}{2}}-{\frac {3u_{3}}{2}}+2u_{6}\right]+{\frac {1}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

この方法は、ウィリアムズ解^[16]の最初の2項を定数項と特異項で再現します。

1/4点法の利点は、3次元モデルに簡単に一般化できることです。これにより、他の3次元法と比較して計算量を大幅に削減できますが、亀裂の先端が大きな曲率で伝播する場合はエラーが発生する可能性があります。^[17]

• 破壊力学
• 応力強度係数
• 破壊靭性
• J積分

• ジョン・ハッチンソン教授（ハーバード大学）による非線形破壊力学ノート
• グリフィスのひずみエネルギー解放率（www.fracturemechanics.org）