ミルンモデル

ミルンモデルは、 1935年にエドワード・アーサー・ミルンによって提案された宇宙の特殊相対論的宇宙論モデルである。 ^{[ 1 ]}これは、エネルギー密度がゼロの極限におけるFLRWモデルの特殊なケースと数学的に等価であり、宇宙原理に従う。ミルンモデルは、どちらも平坦なミンコフスキー空間の単純な再パラメータ化であるという点で、リンドラー空間にも似ている。

ミルンモデルはエネルギー密度がゼロで空間曲率が最大負であるため、宇宙論的観測と矛盾する。宇宙論者は実際に宇宙の密度パラメータが1と一致し、曲率が平坦性と一致していることを観測している。^{[ 2 ]}

ミルン宇宙は、より一般的なフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカーモデル（FLRW）の特殊なケースである。ミルン解は、エネルギー密度、圧力、宇宙定数がすべてゼロであり、空間曲率が負であるという条件を課すことで、より一般的なFLRWモデルから得られる。これらの仮定とフリードマン方程式から、スケールファクターは時間座標に線形に依存する必要があることがわかる。^{[ 3 ] [ 4 ]}

空間曲率と光速を1に設定すると、ミルン宇宙の計量は超球座標で次のように表すことができます。^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-t^{2}(d\chi ^{2}+\sinh ^{2}{\chi }d\Omega ^{2})\ }$

どこ

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\ }$

は2つの球面のメトリックであり、

${\displaystyle \chi =\sinh ^{-1}{r}}$

は、負の曲率を持つ空間の曲率補正された半径方向成分で、0 から の間で変化します。${\displaystyle +\infty }$。

ミルンモデルが記述する空虚な空間は、座標変換によってミンコフスキー空間におけるイベントの光円錐の内部と同一視することができる。^{[ 4 ]}

ミルンはこのモデルを一般相対性理論とは独立して開発したが、特殊相対性理論を意識していた。彼が最初に説明したように、このモデルには空間の膨張がないため、すべての赤方偏移（固有速度によるものを除く）は、仮説上の「爆発」に関連する後退速度によって説明される。しかし、ゼロエネルギー密度（${\displaystyle \rho =0}$FLRW 計量のミルンのモデルへのバージョンは、ミルンの仮定を使用した完全な一般相対論的処理が、減速パラメータがそのようなモデルでは一意にゼロであるため、すべての時間に対して線形に増加するスケールファクターをもたらすことを示唆しています。

ミルンは、宇宙の密度は、物質が最初に外向きに爆発したために時間とともに変化すると提唱した。ミルンのモデルは、ローレンツ不変（t=x=y=z=0 の周り）の不均一な密度関数を仮定している。ミルンの密度分布をグラフで表現すると、外縁が光速で外向きに移動する三次元球状のロバチェフスキーパターンを示す。すべての慣性体は、物質の爆発の中心に自身があると認識し（観測可能な宇宙を参照）、宇宙原理の意味で局所宇宙を均質かつ等方的であると認識する。

一般相対性理論と整合するためには、ミルンモデルが適用されると考えられるあらゆる時点において、宇宙の密度は臨界密度に比べて無視できるほど小さくなければならない。

• ミルン宇宙論：私がこの話題を語り続ける理由（ 2006年9月12日、ウェイバックマシンにアーカイブ済み） - ミルンモデルに関する詳細かつ非専門的な入門書
• モーゲンス・ウェゲナー (2021)『非標準相対性理論：物理学における異端に関する哲学者の手引き』。オンデマンド書籍。ISBN 978-8743031420。イギリスの宇宙論の伝統に関する徹底的な歴史的・理論的研究であり、同時にミルンを称える長編作品でもある。