エーバーハルトの定理

数学、特に多面体組合せ論において、エーバーハルトの定理は、単純な凸多面体の面を形成できる多角形の多重集合を部分的に特徴付ける。これは、三角形、四角形、五角形、七角形、および六角形以外の他の多角形の数が与えられた場合、それらの数の多角形がオイラーの多面体公式から導かれる線形方程式に従う場合にのみ、それらの数の面（および不特定の数の六角形の面）を持つ凸多面体が存在することを述べている。^[1]

この定理は、盲目のドイツの数学者ヴィクトール・エーバーハルトにちなんで名付けられました。彼は1888年にこの定理を学位論文で発表し、1891年には多面体に関する本で拡張された形で発表しました。^{[1] [2] [3]}

任意の凸多面体に対して、数 、 、 などを定義できます。ここで、 はちょうど の辺を持つ多面体の面の数です。3 次元の凸多面体は、多面体のすべての頂点がちょうど 3 つの辺に接している場合に単純であると定義されます。単純な多面体では、すべての頂点が面の 3 つの角度に接し、すべての辺が面の 2 つの辺に接しています。面の角度と辺の数は与えられているので、すべての面を合計し、適切な係数を掛けることで、3 つの数(頂点の総数)、(辺の総数)、および(面の総数) を計算できます。^[1]${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{4}}$${\displaystyle p_{5}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle v={\frac {1}{3}}\sum _{i}i\,p_{i},}$

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{i}i\,p_{i},}$

そして

${\displaystyle f=\sum _{i}p_{i}.}$

これらの値をオイラーの多面体公式 に代入し、分母を消去すると次の式が得られる。 ${\displaystyle v-e+f=2}$

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

これは、すべての単純多面体の面数が満たさなければならない条件です。しかし、この式は の値の影響を受けません(乗数がゼロであるため)。また、他の面数の選択によっては、 を変更すると、その面数を持つ多面体が存在するかどうかが変わります。つまり、面数に関してこの式に従うことは多面体の存在の必要条件ではありますが、十分条件ではありません。また、どの面数が実現可能であるかを完全に特徴付けるには、 の値を考慮する必要があります。^[1]${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle 6-i}$${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle p_{6}}$

エーバーハルトの定理は、上記の式が に依存しない唯一の必要条件であることを意味している。これは、 への数値の割り当て（ を省略）が次の式に従う 場合、${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle p_{3},p_{4},p_{5},p_{7},\dots }$${\displaystyle p_{6}}$

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

とすると、すべての に対して と 辺を持つ単純な凸多面体の値が存在する。^[1]${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

単純なプラトン立体には、正四面体、立方体、正十二面体という3 種類があります。正四面体は、立方体は、正十二面体は で、 のその他の値はすべて0 です。 へのこれら 3 つの数の割り当てはすべて、エーバーハルトの定理で要求される等式に従います。これらの多面体の存在は、 へのこれら 3 つの数の割り当てに対して、 の多面体が存在することを示しています。および 0 以外のすべてのを持つ正十二面体の場合は、より一般的にフラーレンを記述します。 を持つフラーレンはありませんが、 の他の値に対してはこれらのグラフを実現できます。^[4]たとえば、を持つ26 フラーレン グラフを参照してください。 ${\displaystyle p_{3}=4}$${\displaystyle p_{4}=6}$${\displaystyle p_{5}=12}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{6}=0}$${\displaystyle p_{5}=12}$${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle p_{6}=1}$${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle p_{6}=3}$

3 つの三角形の面と 3 つの五角形の面を持ち、他の面を持たない単純な凸多面体は存在しません。つまり、、およびに対して単純な凸多面体を持つことは不可能です。しかし、エーバーハルトの定理によれば、いくつかの六角形を追加することで単純な多面体を形成できるはずであり、この場合は 1 つの六角形で十分です。つまり、正六角形の面のうち 6 つを通る立方体を二等分すると、3 つの三角形の面、3 つの五角形の面、および 1 つの六角形の面を持つ単純な屋根のない多面体が 2 つ生成されます。つまり、この場合は と設定するだけで、実現可能な面数の組み合わせを作成できます。^[5]${\displaystyle p_{3}=p_{5}=3}$${\displaystyle p_{i}=0}$${\displaystyle i\notin \{3,5\}}$${\displaystyle p_{6}=1}$

エーバーハルトの定理に類似した結果は、すべての頂点がちょうど 4 つの辺に接する多面体の存在にも当てはまります。この場合、オイラーの公式から導かれる方程式は四辺形の数の影響を受けず、この方程式に従う他のタイプの面の数への割り当てごとに、4 正多面体を実現できる四辺形の数を選択できます。^[1]${\displaystyle p_{4}}$

エバーハルトの定理の強化版は、元の定理と同じ条件下で、単純な凸多面体で実現可能なのすべての選択肢が より大きく、同じ偶奇性を持つような数が存在することを述べています。 ^[6]${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{6}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

デイビッド・W・バーネットの定理は、7次以上の面の数が3以上ある場合に必要な六角形の数の 下限値を示しています。この定理によれば、

${\displaystyle p_{6}\geq 2+{\frac {p_{3}}{2}}-{\frac {p_{5}}{2}}-\sum _{i>6}p_{i }.}$

五角形が少なく高次の面が多い多角形の場合、この不等式により六角形の数が任意に大きくなる可能性があります。さらに強力な方法として、この不等式は、必要な六角形の数が面の最大辺数の関数によって制限されない場合の面の数の割り当てを見つけるために使用できます。^[7]

エバーハルトの定理の類似物は、単純な凸多面体以外の面や面数を持つシステム、例えばトーラスグラフ^[8]やタイル張り^[9]でも研究されてきた。

• エルデシュ・ガライ定理
• グリンバーグの定理