ダウンサンプリング（信号処理）

デジタル信号処理において、ダウンサンプリング、圧縮、デシメーションは、マルチレートデジタル信号処理システムにおける再サンプリングのプロセスに関連する用語です。ダウンサンプリングとデシメーションはどちらも圧縮と同義ですが、帯域幅削減（フィルタリング）とサンプルレート削減のプロセス全体を表すこともできます。^{[1] [2]このプロセスが}信号または連続関数のサンプルのシーケンスに対して実行されると、より低いレート（または写真の場合のように密度）で信号をサンプリングすることによって取得されたシーケンスの近似値が生成されます。

デシメーションとは、歴史的には10 分の 1 ごとに 1 つを削除することを意味する用語です。^[a]しかし、信号処理では、係数 10 によるデシメーションは、実際には10 分の 1 ごとに 1 つのサンプルのみを保持することを意味します。この係数は、サンプリング間隔を乗算するか、または同等に、サンプリング レートを除算します。たとえば、44,100 サンプル/秒のコンパクト ディスクオーディオを係数 5/4 でデシメーションすると、結果として得られるサンプル レートは 35,280 になります。デシメーションを実行するシステム コンポーネントは、デシメータと呼ばれます。整数係数によるデシメーションは、圧縮とも呼ばれます。^{[3] [4]}

整数係数Mによるレート削減は2段階のプロセスとして説明でき、より効率的な同等の実装がある: ^[5]

1. デジタルローパスフィルタを使用して高周波信号成分を低減します。
2. フィルタリングされた信号をMでデシメーションします。つまり、M^番目のサンプルのみを保持します。

ステップ 2 のみでは、望ましくないエイリアシング(つまり、高周波信号成分が低周波数帯域にコピーされ、低周波数と誤認される) が発生します。ステップ 1 では、必要に応じて、エイリアシングを許容レベルまで抑制します。このアプリケーションでは、フィルターはアンチエイリアシング フィルターと呼ばれ、その設計については以下で説明します。バンドパス関数と信号の デシメーションについては、アンダーサンプリングも参照してください。

アンチエイリアシングフィルタがIIR設計の場合、2番目のステップの前に出力から入力へのフィードバックに依存します。FIRフィルタリングでは、 M^番目の出力のみを計算するのは簡単です。n番目^の出力サンプルに対してデシメーションFIRフィルタによって実行される計算は、ドット積です。^[b]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}$

ここで、h [•] シーケンスはインパルス応答であり、Kはその長さです。x  [•] はダウンサンプリングされる入力シーケンスを表します。汎用プロセッサでは、y [ n ] を計算した後、 y [ n +1 ]を計算する最も簡単な方法は、 x [•] 配列の開始インデックスをMだけ進めて、ドット積を再計算することです。M =2の場合、 h [•] はハーフバンドフィルタとして設計でき、係数のほぼ半分がゼロになり、ドット積に含める必要がありません。

M間隔で取得されたインパルス応答係数はサブシーケンスを形成し、そのようなサブシーケンス (位相) がM 個多重化されます。ドット積は、各サブシーケンスとx [•] シーケンスの対​​応するサンプルとのドット積の合計です。さらに、 Mによるダウンサンプリングのため、M個のドット積のいずれかに含まれるx [•] サンプルのストリームは、他のドット積には含まれません。したがって、M 個の低次 FIR フィルタはそれぞれ、入力ストリームのM 個の多重化された位相の 1 つをフィ​​ルタリングし、 M個の出力が合計されます。この観点は、マルチプロセッサ アーキテクチャで有利になる可能性がある別の実装を提供します。つまり、入力ストリームは多重化解除され、出力が合計される M 個のフィルタのバンクに送信されます。このように実装された場合、ポリフェーズフィルタと呼ばれます。

完全を期すために、各フェーズの実現方法として、h [•] 配列のコピーで他のフェーズの係数をゼロに置き換え、元のx [•] シーケンスを入力レートで処理し（つまりゼロを乗算し）、出力をM倍にするという方法があります。この非効率的な方法と上記の実装の等価性は、第 1 ノーブル恒等式として知られています。^{[6] [c]}これは、多相法の導出に使用されることがあります。

X ( f ) を任意の関数x ( t ) のフーリエ変換とし、そのサンプルがT間隔でx [ n ] シーケンスに等しいものとする。離散時間フーリエ変換(DTFT) は、 X ( f )の周期的な和のフーリエ級数表現である: ^[d]

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}$

Tの単位が秒の場合、の単位はヘルツです。上記の式でT をMTに置き換えると、デシメーションされたシーケンスx [ nM ]の DTFT が得られます。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}$

周期的和は、振幅と周期性がM倍に減少しています。これら両方の分布の例が、図 1 の 2 つのトレースに示されています。^{[e] [f] [g]エイリアシングは、} X ( f ) の隣接するコピーが重なり合うときに発生します。アンチエイリアシング フィルタの目的は、周期性が減少することで重なりが生じないようにすることです。X ( f ) のコピーが互いに重なり合わないことを保証する条件は次のとおりです。したがって、これは理想的なアンチエイリアシング フィルタの最大カットオフ周波数です。 ^[A]${\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}$

M/Lをデシメーション係数^[B]とします。ここで、M、L∈ ; M > Lです。${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1. シーケンスをL倍に増やします (再サンプリングします) 。これをアップサンプリングまたは補間と呼びます。
2. M倍に減らす

ステップ 1 では、データ レートを増加 (拡張)した後にローパス フィルタが必要であり、ステップ 2 では、デシメーションの前にローパス フィルタが必要です。したがって、両方の操作は、2 つのカットオフ周波数のうち低い方のフィルタで実行できます。M > L の 場合、アンチエイリアシング フィルタのカットオフ ( 中間サンプルあたりのサイクル) は低い方の周波数です。 ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}$

• アップサンプリング
• ポスタリゼーション
• サンプルレート変換
• エイリアシング
• ヴィスヴァリンガム・ホワイアットアルゴリズム

• Proakis, John G. (2000)。デジタル信号処理: 原理、アルゴリズム、アプリケーション(第 3 版)。インド: Prentice- Hall。ISBN 8120311299。
• リチャード・ライオンズ（2001年）。デジタル信号処理の理解。プレンティス・ホール。304ページ。ISBN 0-201-63467-8サンプリング レートを下げることをデシメーションといいます。
• アントニオウ、アンドレアス (2006)。デジタル信号処理。McGraw-Hill。p. 830。ISBN 0-07-145424-1デシメータはサンプリング周波数を下げるために使用でき、インターポレータはサンプリング周波数を上げるために使用できます。
• ミリク、リリャナ (2009)。デジタル信号処理のためのマルチレート フィルタリング。ニューヨーク：ハーシー。 p. 35.ISBN​ 978-1-60566-178-0サンプリング レート変換システムは、信号のサンプリング レートを変更するために使用されます。サンプリング レートを下げるプロセスはデシメーションと呼ばれ、サンプリング レートを上げるプロセスは補間と呼ばれます。
• T. Schilcher. デジタル信号処理における RF アプリケーション//「デジタル信号処理」。議事録、CERN 加速器スクール、スウェーデン、シグチューナ、2007 年 5 月 31 日～6 月 9 日。 - ジュネーブ、スイス: CERN (2008)。 - P. 258。 - DOI: 10.5170/CERN-2008-003。[1]
• Sliusar II、Slyusar VI、Voloshko SV、Smolyar VG デシメーション付き N-OFDM に基づく次世代光アクセス。// 第 3 回国際科学実用会議「情報通信の問題。科学技術 (PIC S&T'2016)」。 – ハリコフ。 - 2016 年 10 月 3 日～6 日。[2]
• サスカ・リンドフォース、アールノ・ペルシネン、カリ・AI・ハロネン。 3 V 230 MHz CMOS デシメーション サブサンプラー。// 回路とシステムに関する IEEE トランザクション - Vol. 52、No. 2、2005 年 2 月。 – P. 110。