二重ベクトル束

数学において、二重ベクトル束は、特にベクトル束の接線と二重接線束を含む、2 つの互換性のあるベクトル束構造の組み合わせです。 ${\displaystyle TE}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle T^{2}M}$

二重ベクトル束は から成り、ここで ${\displaystyle (E,E^{H},E^{V},B)}$

1. サイドバンドル とベース上のベクトルバンドルであり、${\displaystyle E^{H}}$${\displaystyle E^{V}}$${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle E}$は両サイドバンドル上のベクトルバンドルであり、${\displaystyle E^{H}}$${\displaystyle E^{V}}$
3. 両方のベクトル束構造に対するE上の射影、加算、スカラー乗算、および零写像は射である。

二重ベクトル束射は 、写像、 、 から 構成され、は からへの束射、は から への束射、は からへの束射、 は からへの束射、は からへの束射です。 ${\displaystyle (f_{E},f_{H},f_{V},f_{B})}$${\displaystyle f_{E}:E\mapsto E'}$${\displaystyle f_{H}:E^{H}\mapsto E^{H}{}'}$${\displaystyle f_{V}:E^{V}\mapsto E^{V}{}'}$${\displaystyle f_{B}:B\mapsto B'}$${\displaystyle (f_{E},f_{V})}$${\displaystyle (E,E^{V})}$${\displaystyle (E',E^{V}{}')}$${\displaystyle (f_{E},f_{H})}$${\displaystyle (E,E^{H})}$${\displaystyle (E',E^{H}{}')}$${\displaystyle (f_{V},f_{B})}$${\displaystyle (E^{V},B)}$${\displaystyle (E^{V}{}',B')}$${\displaystyle (f_{H},f_{B})}$${\displaystyle (E^{H},B)}$${\displaystyle (E^{H}{}',B')}$

二重ベクトル束の反転は二重ベクトル束です。 ${\displaystyle (E,E^{H},E^{V},B)}$${\displaystyle (E,E^{V},E^{H},B)}$

が微分可能多様体上のベクトル束である場合、その二次ベクトル束構造を考慮すると、 は二重ベクトル束になります。 ${\displaystyle (E,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (TE,E,TM,M)}$

が微分可能多様体である場合、その二重接束は二重ベクトル束です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (TTM,TM,TM,M)}$

マッケンジー、K. (1992)、「二重リー代数と二次幾何学、I」、数学の進歩、94 (2): 180–239、doi : 10.1016/0001-8708(92)90036-k