ダイオードモデリング

電子工学において、ダイオードモデリングとは、実際のダイオードの実際の動作を近似して計算や回路解析を可能にするために使用される数学モデルを指します。ダイオードのI - V曲線は非線形です。

非常に正確だが複雑な物理モデルは、わずかに異なる急峻さ（すなわち理想係数）を持つ3つの指数からIV曲線を構成します。これはデバイス内の異なる再結合メカニズムに対応しています。 ^[1]非常に大きい電流と非常に小さい電流では、曲線は線形セグメント（すなわち抵抗動作）で継続される場合があります。

ダイオードは、比較的良好な近似で、単一指数ショックレーダイオード法則によってモデル化されます。この非線形性により、ダイオードを含む回路の計算は依然として複雑になるため、より単純なモデルが使用されることもよくあります。

この記事ではpn 接合ダイオードのモデリングについて説明しますが、この手法は他の固体ダイオードにも一般化できます。

ショックレーのダイオード方程式は、 pn接合ダイオード のダイオード電流 とダイオード電圧を関連付けます。この関係がダイオードのIV特性です。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle V_{D}}$

${\displaystyle I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}-1\right)}$、

ここで、はダイオードの飽和電流またはスケール電流（負の電圧に対して数 を超える電流、通常は 10 ⁻¹² A を流れる電流の大きさ）です。スケール電流はダイオードの断面積に比例します。記号の説明を続けると、 は熱電圧（、常温で約 26 mV）です。${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle V_{\text{T}}}$ ${\displaystyle V_{\text{T}}}$${\displaystyle kT/q}$これはダイオード理想係数として知られています (シリコン ダイオードの場合は約 1 ～ 2)。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

式を 次のように簡略化できます。${\displaystyle V_{D}\gg nV_{\text{T}}}$

${\displaystyle I\approx I_{S}\cdot e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}}$。

しかし、この式はより複雑なIV特性の近似値に過ぎず、その適用範囲は超浅い接合部の場合に特に限られており、より優れた解析モデルが存在する。^[2]

この法則を使用する際の複雑さを説明するために、図 1 のダイオードの両端の電圧を求める問題を考えてみましょう。

ダイオードを流れる電流は回路全体に流れる電流と同じなので、別の式を立てることができます。キルヒホッフの法則により、回路に流れる電流は

${\displaystyle I={\frac {V_{S}-V_{D}}{R}}}$。

これら 2 つの方程式は、ダイオード電流とダイオード電圧を決定します。これら 2 つの方程式を解くには、2 番目の方程式の電流を最初の方程式に代入し、得られた方程式をについて整理して を得ます。この方法の難しさは、ダイオード法則が非線形であることです。それでも、の逆関数であるLambert W関数を使用すると、 を使わずに について直接表す式が得られます。この解については次に説明します。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle V_{S}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V_{S}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle f(w)=we^{w}}$${\displaystyle w=W(f)}$

ダイオード電流の明示的な表現は、ランバートW関数（オメガ関数とも呼ばれる）で得ることができる。 ^[3]これらの操作のガイドは以下のとおりである。新しい変数は次のように導入される。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}$。

置換後の内容: ${\displaystyle I/I_{S}=e^{V_{D}/nV_{\text{T}}}-1}$

${\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}e^{{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}}$

そして： ${\displaystyle V_{D}=V_{S}-IR}$

${\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{S}}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {-IR}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {IRI_{S}}{nV_{\text{T}}I_{S}}}e^{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}}$

ダイオード法則をwに関して整理すると次のようになる。

${\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}}$、

ランバート関数 を用いると、${\displaystyle W}$

${\displaystyle w=W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)}$。

最終的な明確な解決策は

${\displaystyle I={\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)-I_{S}}$。

（パラメータの最も一般的な値に対して有効な）近似値とを用いると、この解は次のようになる。 ${\displaystyle I_{s}R\ll V_{S}}$${\displaystyle I/I_{S}\gg 1}$

${\displaystyle I\approx {\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}\right)}$。

電流が決定されると、他のいずれかの式を使用してダイオード電圧を見つけることができます。

x が大きい場合、は で近似できます。一般的な物理パラメータと抵抗の場合、 は10 ⁴⁰のオーダーになります。 ${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle W(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1)}$${\displaystyle {\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}}$

ダイオード電圧は、計算機やコンピュータを使用した反復法によって、任意の特定の値のセットに対して で求めることができます。 ^[4]ダイオードの法則は で割り、1を加えることで整理されます。ダイオードの法則は次のようになります 。${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle V_{S}}$${\displaystyle I_{S}}$

${\displaystyle e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}={\frac {I}{I_{S}}}+1}$。

両辺の自然対数をとると指数が除去され、方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}$。

任意の に対して、この式は を決定します。しかし、 は上記のキルヒホッフの法則の式も満たす必要があります。この式を に代入すると、 ${\displaystyle I}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)}$、

または

${\displaystyle V_{D}=nV_{\text{T}}\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)}$。

電源の電圧は既知の値ですが、方程式の両辺にあるため、反復解法が必要になります。 の開始値が推測され、方程式の右側に代入されます。右側でさまざまな操作を実行すると、 の新しい値が得られます。この新しい値が右側に代入され、これが繰り返されます。この反復が収束すると、プロセスが続くにつれての値はますます接近し、精度が十分になったら反復を停止できます。 が見つかったら、キルヒホッフの法則の方程式から を見つけることができます。 ${\displaystyle V_{S}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle I}$

反復手順は、最初の推測に大きく依存することがあります。この例では、最初の推測はほとんど何でもかまいません。たとえば、 です。反復手順がまったく収束しないこともあります。この問題では、指数関数に基づく反復は収束しないため、方程式が対数を使用するように再構成されました。収束する反復定式化を見つけるのは芸術であり、問​​題ごとに異なります。 ${\displaystyle V_{D}=600\,{\text{mV}}}$

グラフィカル解析は、ダイオードを記述する超越方程式の数値解を導き出す簡単な方法です。ほとんどのグラフィカル手法と同様に、視覚化が容易であるという利点があります。I - V曲線をプロットすることで、任意の精度で近似解を得ることができます。このプロセスは、前の 2 つのアプローチのグラフィカル版であり、コンピューター実装に適しています。

この方法では、2 つの電流 - 電圧方程式をグラフにプロットし、2 つの曲線の交点が両方の方程式を満たし、回路を流れる電流値とダイオードにかかる電圧値を与えます。図は、この方法を示しています。

実際には、グラフィカルな方法は複雑で、複雑な回路には実用的ではありません。ダイオードをモデル化する別の方法は、区分線形(PWL)モデル化と呼ばれます。数学では、これは関数をいくつかの線形セグメントに分割することを意味します。この方法は、ダイオードの特性曲線を一連の線形セグメントとして近似するために使用されます。実際のダイオードは、理想ダイオード、電圧源、抵抗器の 3 つのコンポーネントを直列に接続してモデル化されます。

この図は、実際のダイオードの IV 曲線を 2 セグメントの区分線形モデルで近似したものです。通常、傾斜した線分は、Q ポイントでダイオード曲線に接するように選択されます。この線の傾斜は、Q ポイントでのダイオードの 小信号抵抗の逆数で表されます。

まず、数学的に理想的なダイオードを考えてみましょう。このような理想的なダイオードでは、ダイオードが逆バイアスされている場合、ダイオードを流れる電流はゼロです。この理想的なダイオードは 0 V で導通を開始し、任意の正電圧に対して無限の電流が流れ、ダイオードは短絡のように動作します。理想的なダイオードの IV 特性を以下に示します。

ここで、以下に示す形式でダイオードと直列に電圧源を追加する場合を考えてみましょう。

順方向バイアスの場合、理想ダイオードは単なる短絡回路となり、逆方向バイアスの場合、開回路となります。

ダイオードのアノードが 0 V に接続されている場合、カソード の電圧はVtになり、カソードの電位はアノードの電位よりも高くなり、ダイオードは逆バイアスされます。ダイオードを導通させるには、アノードの電圧をVtにする必要があります。この回路は、実際のダイオードに存在するカットイン電圧を近似します。この回路の複合 IV 特性を以下に示します。

ショックレーダイオードモデルを使用して、 のおおよその値を予測できます。 ${\displaystyle V_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}-1\right)\\\Leftrightarrow {}&\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)={\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\\\Leftrightarrow {}&V_{D}=n\cdot V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)\approx n\cdot V_{\text{T}}\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}\right)\\\Leftrightarrow {}&V_{D}\approx n\cdot V_{\text{T}}\cdot \ln {10}\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}\end{aligned}}}$

と の使用: ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle T=25\,{\text{°C}}}$

${\displaystyle V_{D}\approx 0.05916\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}}$

室温での 飽和電流の典型的な値は次のとおりです。

• ${\displaystyle I_{S}=10^{-12}}$シリコンダイオード用;
• ${\displaystyle I_{S}=10^{-6}}$ゲルマニウムダイオード用。

の変化は比の対数に比例するため、比が大きく変化してもその値はほとんど変化しません。10 を底とする対数を使用すると、桁数で考えやすくなります。 ${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle {\frac {I}{I_{S}}}}$

電流が1.0mAの場合 :

• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.53\,{\text{V}}}$シリコンダイオードの場合（9桁）
• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.18\,{\text{V}}}$ゲルマニウムダイオードの場合（3桁）。

電流100mAの場合 :

• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.65\,{\text{V}}}$シリコンダイオードの場合（11桁）
• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.30\,{\text{V}}}$ゲルマニウムダイオードの場合（5桁）。

シリコンダイオードでは0.6ボルトまたは0.7ボルトの値が一般的に使用されます。^[5]

最後に必要なのは、以下に示すように、電流を制限する抵抗器です。

最終回路の IV 特性は次のようになり ます。

実際のダイオードは、理想ダイオード、電圧源、抵抗器の組み合わせに置き換えることができ、回路は線形要素のみを使用してモデル化されます。傾斜線分がQ ポイントで実際のダイオード曲線に接する場合、この近似回路は、 Q ポイントで実際のダイオードと 同じ小信号回路を持ちます。

ダイオードのターンオン特性のモデリングにさらに精度が必要な場合は、標準の PWL モデルを 2 倍にしてモデルを拡張できます。このモデルでは、2 つの区分線形ダイオードを並列に使用して、1 つのダイオードをより正確にモデリングします。

ショックレーの式を用いると、ダイオードの小信号ダイオード抵抗は、 DCバイアス電流が でQ点印加電圧が である動作点（ Q点）付近で導くことができる。^[6]まず、ダイオードの小信号コンダクタンス、すなわちダイオード両端の電圧の小さな変化によって生じるダイオードの電流の変化をこの電圧変化で割った値を求める。すなわち、 ${\displaystyle r_{D}}$${\displaystyle I_{Q}}$${\displaystyle V_{Q}}$ ${\displaystyle g_{D}}$

${\displaystyle g_{D}=\left.{\frac {dI}{dV}}\right|_{Q}={\frac {I_{s}}{n\cdot V_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\approx {\frac {I_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}}$。

後者の近似では、バイアス電流が十分に大きいため、ショックレー ダイオード方程式の括弧内の係数 1 は無視できると想定しています。この近似は、300 Kでの熱電圧が大きくなる傾向があるため、比較的小さい電圧でも正確であり、指数が非常に大きくなります。 ${\displaystyle I_{Q}}$ ${\displaystyle V_{\text{T}}\approx 25\,{\text{mV}}}$ ${\displaystyle V_{Q}/V_{\text{T}}}$

小信号抵抗は先ほど求めた小信号コンダクタンスの逆数であることに注目すると、ダイオード抵抗は交流電流とは無関係ですが、直流電流に依存し、次のように表されます。 ${\displaystyle r_{D}}$

${\displaystyle r_{D}={\frac {n\cdot V_{\text{T}}}{I_{Q}}}}$。

ダイオードの電流を運ぶ電荷は、 ${\displaystyle I_{Q}}$

${\displaystyle Q=I_{Q}\tau _{F}+Q_{J}}$、

ここで、は電荷キャリアの順方向通過時間です。^[6]電荷の最初の項は、電流が流れるときにダイオードを通過する電荷です。2番目の項は、単純なコンデンサ、つまり反対の電荷を持つ一対の電極として見た場合に、接合自体に蓄積される電荷​​です。これは、伝導する電流に関係なく、単に電圧がかかることによってダイオードに蓄積される電荷​​です。 ${\displaystyle \tau _{F}}$${\displaystyle I_{Q}}$

以前と同様に、ダイオードの静電容量はダイオードの電圧によるダイオードの電荷の変化です。

${\displaystyle C_{D}={\frac {dQ}{dV_{Q}}}={\frac {dI_{Q}}{dV_{Q}}}\tau _{F}+{\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}\approx {\frac {I_{Q}}{V_{\text{T}}}}\tau _{F}+C_{J}}$、

ここで は接合容量であり、最初の項は接合部を拡散する電流に関係するため 拡散容量と呼ばれます。${\displaystyle C_{J}={\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}}$

ショックレーのダイオード方程式には指数関数 があり、温度とともに順方向電圧が増加すると予想されます。実際には、これは通常当てはまりません。温度が上昇すると、飽和電流が増加し、この効果が支配的になります。したがって、ダイオードが熱くなると、順方向電圧（特定の電流の場合）は減少します。 ${\displaystyle V_{D}/(kT/q)}$${\displaystyle I_{S}}$

1N4005シリコンダイオードの詳細な実験データ^[7] がこれを示しています。実際、一部のシリコンダイオードは温度センサーとして使用されています。たとえば、OMEGAのCY7シリー​​ズの順方向電圧は、液体窒素（77  K）では1.02 V、 室温では0.54 V、 100 °Cでは0.29 Vです。^[8]

さらに、温度によって材料パラメータのバンドギャップがわずかに変化します。LED の場合、このバンドギャップの変化によって色も変化します。冷却されると、スペクトルの青色の端に向かって移動します。

ダイオードの順方向電圧は温度が上昇すると低下するため、バイポーラ トランジスタ回路に並列接続すると電流が集中して熱暴走を引き起こす可能性があります ( BJTのベース エミッタ接合はダイオードとして機能するため)。この場合、ベース エミッタ順方向電圧の低下によりコレクタ電力消費が増加し、必要なベース エミッタ順方向電圧がさらに低下します。

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