違いの違い

差の差（DID ^[1]またはDD ^[2]）は、社会科学における計量研究 や定量的研究で用いられる統計手法であり、自然実験における「治療群」と「対照群」に対する治療の差次的効果を研究することにより、観察研究データを用いて実験研究デザインを模倣しようとするものである。^[3]これは、治療群の結果変数の経時的平均変化を対照群の経時的平均変化と比較することにより、治療（説明変数または独立変数）が結果（応答変数または従属変数）に及ぼす影響を計算する。外来要因や選択バイアスの影響を軽減することを目的としていますが、治療群の選択方法によっては、依然として特定のバイアス（平均回帰、逆因果関係、欠落変数バイアスなど）の影響を受ける可能性がある。

被験者に対する治療効果の時系列推定（時間の経過に伴う差異を分析）や治療効果の横断的推定（治療群と対照群の差異を測定）とは対照的に、差異の差異では、パネル データを使用して、時間の経過に伴って発生する結果変数の変化について、治療群と対照群の差異を測定します。

差異の差異には、治療グループとコントロール グループから 2 つ以上の異なる期間、具体的には「治療」前の少なくとも 1 つの期間と「治療」後の少なくとも 1 つの期間で測定されたデータが必要です。図の例では、治療グループの結果は線 P で表され、コントロール グループの結果は線 S で表されます。両方のグループの結果 (従属) 変数は、いずれかのグループが治療 (つまり、独立変数または説明変数) を受ける前の時間 1 で測定され、点P ₁と点 S ₁で表されます。次に、治療群は治療を受けるか、または治療を受け、両群は再び時刻 2 で測定されます。治療群と対照群は時刻 1 で同じ時点から開始したわけではないため、時刻 2 での治療群と対照群の差 (つまり、P ₂とS ₂の差) のすべてが治療の効果として説明できるわけではありません。したがって、DID は、2 つのグループ間の結果変数の「通常の」差 (どちらのグループも治療を受けなかった場合にも存在する差) を計算し、点線Qで表します ( P _1からQへの傾きは、S _1からS ₂への傾きと同じであることに注意してください)。治療効果は、観察された結果 (P _{2 ) と「通常の」結果 (P 2}と Qの差) の差です。

モデルを検討する

${\displaystyle y_{it}~=~\gamma _{s(i)}+\lambda _{t}+\delta I(\dots )+\varepsilon _{it}}$

ここで、は個人および時間の従属変数、は が属するグループ(つまり、治療グループまたはコントロール グループ)、 はダミー変数の省略形で、で説明したイベントが真の場合は 1、それ以外の場合は 0 になります。 時間とグループを対比したプロットでは、のグラフの垂直切片、 は平行傾向の仮定 (以下の仮定を参照) に従って両グループが共有する時間傾向です。は治療効果、 は残差項です。 ${\displaystyle y_{it}}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I(\dots )}$${\displaystyle (\dots )}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \gamma_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \lambda_{t}}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \varepsilon _{it}}$

グループと時間ごとの従属変数とダミー指標の平均を考慮してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{s}&={\text{ グループ内の個体数 }}s\\{\overline {y}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}y_{it}\ I(s(i)~=~s),\\{\overline {\gamma }}_{s}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s(i)}\ I(s(i)~=~s)~=~\gamma _{s},\\{\overline {\lambda }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}\ I(s(i)~=~s)~=~\lambda _{t},\\D_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}I(s(i)~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}})\ I(s(i)~=~s)~=~I(s~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}}),\\{\overline {\varepsilon }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{it}\ I(s(i)~=~s),\end{aligned}}}$

簡単のため、と と仮定します。はランダムではなく、グループと期間のラベル付け方法をエンコードしているだけであることに注意してください。 ${\displaystyle s=1,2}$${\displaystyle t=1,2}$${\displaystyle D_{st}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\\[6pt]={}&{\big [}(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\varepsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{12}){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\varepsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\varepsilon }}_{22}){\big ]}\\[6pt]={}&\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\varepsilon }}_{11}-{\overline {\varepsilon }}_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{22}-{\overline {\varepsilon }}_{21}.\end{aligned}}}$

厳密な外生性仮定は、

${\displaystyle \operatorname {E} \left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21}).}$

一般性を失うことなく、が治療群、 が治療後期間であると仮定すると、 となり、DID推定値が得られる。 ${\displaystyle s=2}$${\displaystyle t=2}$${\displaystyle D_{22}=1}$${\displaystyle D_{11}=D_{12}=D_{21}=0}$

${\displaystyle {\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22}),}$

これは、 で示される治療の治療効果として解釈できます。以下では、この推定値を通常の最小二乗回帰の係数として読み取る方法を示します。このセクションで説明するモデルは過剰にパラメータ化されています。これを修正するには、ダミー変数の係数の 1 つを 0 に設定することができます。たとえば、 を設定できます。 ${\displaystyle D_{st}}$${\displaystyle \gamma _{1}=0}$

OLSモデルの仮定はすべて、DIDにも同様に適用されます。さらに、DIDでは平行傾向の仮定が必要です。平行傾向の仮定は、との両方で が同じであると述べています。上記の正式な定義が現実を正確に表していることを考えると、この仮定は自動的に成り立ちます。ただし、 のモデルの方が現実的である可能性があります。平行傾向の仮定が成り立つ可能性を高めるために、多くの場合、差分の差分アプローチがマッチングと組み合わせられます。^[4]これには、既知の「治療」ユニットをシミュレートされた反事実的な「コントロール」ユニット（治療を受けなかった特性的に同等のユニット）と「マッチング」することが含まれます。結果変数を時間的な差（治療前と治療後の期間の間で観察された結果の変化）として定義し、大規模なサンプル内の複数のユニットを同様の治療前履歴に基づいてマッチングすることにより、結果として得られるATE（つまり、ATT：治療を受けた人の平均治療効果）は、治療効果の堅牢な差分の差分推定値を提供します。これには 2 つの統計的目的があります。第 1 に、治療前の共変量を条件として、平行傾向の仮定が成立する可能性が高くなります。第 2 に、このアプローチにより、有効な推論に必要な関連する無視可能性の仮定への依存が軽減されます。 ${\displaystyle \lambda _{2}-\lambda _{1}}$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle s=2}$${\displaystyle \lambda _{st}~:~\lambda _{22}-\lambda _{21}\neq \lambda _{12}-\lambda _{11}}$

右に示すように、治療効果は、観察されたy値と、治療が行われなかった場合の平行傾向でのy値との差です。DID の最大の弱点は、治療以外の何かが 1 つのグループで変化し、治療と同時に他のグループでは変化しないことです。これは、平行傾向の仮定に違反することを意味します。

DID推定値の精度を保証するために、2つのグループの個人の構成は時間の経過とともに変化しないと仮定します。DIDモデルを使用する場合、自己相関^[5]やアシェンフェルターディップなど、結果を危うくする可能性のあるさまざまな問題を考慮し、対処する必要があります。

DID メソッドは、以下の表に従って実装できます。右下のセルは DID 推定値です。

回帰分析を実行しても同じ結果が得られます。OLSモデルを考えてみましょう。

${\displaystyle y~=~\beta _{0}+\beta _{1}T+\beta _{2}S+\beta _{3}(T\cdot S)+\varepsilon }$

ここで、は期間のダミー変数で、のときは に等しく、はグループ メンバーシップのダミー変数で、 のときは に等しくなります。複合変数は、のときは を示すダミー変数です。ここでは厳密に示されていませんが、これはモデルの正式な定義の適切なパラメータ化であり、さらに、そのセクションのグループ平均と期間平均は、次のようにモデル パラメータ推定値に関連していることがわかります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle t=2}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle s=2}$${\displaystyle (T\cdot S)}$${\displaystyle S=T=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\beta }}_{0}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{1}&={\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{2}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{3}&={\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0){\big ]},\end{aligned}}}$

ここで、 はサンプルで計算された条件付き平均を表します。たとえば、は事後期間の指標、は対照群の指標です。 は対照群の影響ではなく、反事実の推定値であることに注意してください。 対照群は、反事実の代理としてよく使用されます(この点についてより深く理解するには、合成制御法を参照してください)。 そのため、 は、対照群と介入 (治療) の反事実の両方の影響として解釈できます。 同様に、は、平行傾向の仮定により、 における治療群と対照群の間の同じ差でもあります。 上記の説明は、 について対照群のみの (平均) 効果、または について事前期間の治療群と対照群の差のみを意味するものと解釈されるべきではありません。 以下のCardとKruegerと同様に、結果変数の最初の (時間) 差により、 の不偏推定値を形成するために時間傾向 (つまり、 ) を使用する必要がなくなり、 は実際には治療群または対照群に条件付けられていないことを意味します。^[6]一貫して、治療群と対照群の間に差があれば、治療差（すなわち）がなくても の偏りのない推定値が得られる。このニュアンスは、ユーザーが（弱い）平行前トレンドの違反があると信じているときや、非共通ショックや交絡イベントの存在を前提とした適切な反事実的近似仮定の違反の場合に理解する上で重要である。この表記法と前のセクションの関係を見るには、上記のように各グループごとに期間ごとに1つの観測値のみを考え、 ${\displaystyle {\widehat {E}}(\dots \mid \dots )}$${\displaystyle T=1}$${\displaystyle S=0}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$${\displaystyle T=1}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$${\displaystyle (\Delta Y_{i}=Y_{i,1}-Y_{i,0})}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)&={\widehat {E}}(y\mid {\text{ after period, control}})\\[3pt]\\&={\frac {{\widehat {E}}(y\ I({\text{ after period, control}}))}{{\widehat {P}}({\text{ after period, control}})}}\\[3pt]\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i,{\text{after}}}I(i{\text{ in control}})}{n_{\text{control}}}}={\overline {y}}_{\text{control, after}}\\[3pt]\\&={\overline {y}}_{\text{12}}\end{aligned}}}$

およびの他の値についても同様に成り立ち、これは次式と同等である。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}~=~(y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22}).}$

しかし、これは正式な定義と上記の表に示されている治療効果の表現です。

1994年に発表されたニュージャージー州の最低賃金に関するカードとクルーガーの論文[ ^6]は、最も有名なDID研究の1つと考えられています。カードは後に、この研究と関連する研究の一部により、 2021年のノーベル経済学賞を受賞しました。カードとクルーガーは、1992年4月にニュージャージー州の最低賃金が4.25ドルから5.05ドルに上昇した後の1992年2月と1992年11月のニュージャージー州とペンシルベニア州のファストフード部門の雇用を比較しました。処理の前後でニュージャージー州の雇用のみの変化を観察すると、地域の天候やマクロ経済状況などの省略された変数を制御できなくなります。差分の差分モデルのコントロールとしてペンシルベニア州を含めることで、ニュージャージー州とペンシルベニア州に共通する変数によって引き起こされるバイアスは、これらの変数が観察されない場合でも暗黙的に制御されます。ニュージャージー州とペンシルベニア州が時間の経過とともに並行した傾向を示していると仮定すると、ペンシルベニア州の雇用の変化は、ニュージャージー州が最低賃金を引き上げなかった場合に経験したであろう変化として解釈でき、逆もまた同様です。証拠は、一部の経済理論が示唆するのとは反対に、最低賃金の引き上げがニュージャージー州の雇用の減少を招かなかったことを示唆しています。以下の表は、Card & Krueger による雇用への処置効果の推定値を示しており、FTE (フルタイム当量)で測定されています。Card と Krueger は、ニュージャージー州の最低賃金の 0.80 ドルの引き上げが、FTE で 2.75 の雇用増加につながったと推定しています。

この研究のソフトウェア応用例は、 Juan Miguel Villaが作成したStataのコマンド-diff- ^[7]にあります。

• 実験計画
• 平均治療効果
• 合成制御法

• アングリスト、JD; ピシュケ、JS (2008)。『ほとんど無害な計量経済学：経験主義者の手引き』。プリンストン大学出版局。227～243 ページ。ISBN 978-0-691-12034-8。
• Cameron, Arthur C.; Trivedi, Pravin K. (2005). Microeconometrics: Methods and Applications . Cambridge university press. pp. 768–772. doi :10.1017/CBO9780511811241. ISBN 9780521848053. S2CID  120313863。
• Imbens, Guido W.; Wooldridge, Jeffrey M. (2009). 「プログラム評価の計量経済学における最近の動向」Journal of Economic Literature . 47 (1): 5–86. doi :10.1257/jel.47.1.5.
• Bakija , Jon; Heim, Bradley (2008 年 8 月)。「慈善寄付はインセンティブと収入にどのように反応するか? 予測可能な課税の変更を考慮した動的パネル推定」。NBERワーキング ペーパー No. 14237。doi : 10.3386 /w14237。
• Conley, T.; Taber , C. (2005 年 7 月)。「少数の政策変更による「差異の差異」による推論」。NBER 技術ワーキング ペーパー No. 312。doi : 10.3386 /t0312。

• 差異推定の差異、ヘルスケアエコノミストウェブサイト