反磁性不等式

数学と物理学において、反磁性不等式は、線束の断面の絶対値のソボレフノルムと共変微分との関係を表す。反磁性不等式には重要な物理的解釈があり、磁場中の荷電粒子は真空中よりも基底状態でエネルギーが大きいことを意味する。^{[ 1 ] [ 2 ]}

不等式を正確に述べるために、${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$は二乗可積分関数の通常のヒルベルト空間を表し、${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$二乗可積分関数とその二乗可積分導関数からなるソボレフ空間。${\displaystyle f,A_{1},\dots ,A_{n}}$測定可能な関数である$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして、${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$実数値であり、${\displaystyle f}$は複素数値であり、${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$すると、ほぼすべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$、 $${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |(\nabla +iA)f(x)|.}$$ 特に、${\displaystyle |f|\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$。

この証明では、 Elliott H. LiebとMichael Loss の方法に従います。^{[ 1 ]} 仮定から、${\displaystyle \partial _{j}|f|\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$分布の観点から見ると、 $${\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\partial _{j}f(x)\right)}$$ ほぼすべての${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle f(x)\neq 0}$（そして${\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=0}$もし${\displaystyle f(x)=0}$）。 さらに、 $${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}iA_{j}f(x)\right)=\operatorname {Im} (A_{j})=0.}$$ それで $${\displaystyle \nabla |f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right)\leq \left|{\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right|=|\mathbf {D} f(x)|}$$ ほぼすべての${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle f(x)\neq 0}$の場合${\displaystyle f(x)=0}$同様である。

させて${\displaystyle p:L\to \mathbb {R} ^{n}}$U (1)線束とし、${\displaystyle A}$接続1形式${\displaystyle L}$この状況では、${\displaystyle A}$は実数値であり、共変微分は${\displaystyle \mathbf {D} }$満たす${\displaystyle \mathbf {D} f_{j}=(\partial _{j}+iA_{j})f}$各セクションについて${\displaystyle f}$。 ここ${\displaystyle \partial _{j}}$は、自明な接続の構成要素です。${\displaystyle L}$。 もし${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$そして${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$そしてほぼすべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$反磁性不等式から、 $${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |\mathbf {D} f(x)|.}$$

上記の事例は、物理的に最も興味深いものです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ミンコフスキー時空として。電磁気学のゲージ群は${\displaystyle U(1)}$接続1フォーム${\displaystyle L}$有効な電磁四元電位に他ならない${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。 もし${\displaystyle F=dA}$は電磁テンソルであり、その場合、ある断面の質量ゼロのマクスウェル・クライン・ゴルドン系は次のようになる。${\displaystyle \phi }$の${\displaystyle L}$は $${\displaystyle {\begin{cases}\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=\operatorname {Im} (\phi \mathbf {D} _{\nu }\phi )\\\mathbf {D} ^{\mu }\mathbf {D} _{\mu }\phi =0\end{cases}}}$$ そしてこの物理システムの エネルギーは$${\displaystyle {\frac {||F(t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}+{\frac {||\mathbf {D} \phi (t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}.}$$ 反磁性不等式は、電磁気がない場合にエネルギーが最小化されることを保証するので、${\displaystyle A=0}$[ ^{3 ]​}

• 反磁性– 一般的な物質の磁気特性