数学的解
数学 、特に 偏微分方程式 (PDE) において、 ダランベールの公式は 1 次元 波動方程式 の一般解です。
あなた
t t
−
c
2
あなた
x x
= 0 、 あなた （ x 、 0 ） = グ （ x ） 、
あなた
t
（ x 、 0 ） = h （ x ） 、
{\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}
のために
− ∞ < x < ∞ 、 t > 0
{\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0}
この法則は、1747年に振動する弦 の問題に対する解決策として導出した数学者 ジャン・ル・ロン・ダランベール にちなんで名付けられました 。 [1]
詳細 PDE の特性は ( ここ で、 符号は 2 次方程式の 2 つの解を表します) なので、変数変換 (正の解の場合) と (負の解の場合) を使用して PDE を に変換できます 。この PDE の一般解は で 、 とは 関数 です。 座標に戻ると、
x ± c t =
c o ん s t
{\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} }
±
{\displaystyle \pm}
μ = x + c t
{\displaystyle \mu =x+ct}
η = x − c t
{\displaystyle \eta =x-ct}
あなた
μ η
= 0
{\displaystyle u_{\mu \eta }=0}
あなた （ μ 、 η ） = ふ （ μ ） + グ （ η ）
{\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )}
ふ
{\displaystyle F}
グ
{\displaystyle G}
Ｃ
1
{\displaystyle C^{1}}
x 、 t
{\displaystyle x,t}
あなた （ x 、 t ） = ふ （ x + c t ） + グ （ x − c t ）
{\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}
あなた
{\displaystyle u}
であり 、 で ある場合 です 。
Ｃ
2
{\displaystyle C^{2}}
ふ
{\displaystyle F}
グ
{\displaystyle G}
Ｃ
2
{\displaystyle C^{2}}
この解は、一定速度で x 軸に沿って反対方向に移動する
2 つの波として解釈できます。
あなた
{\displaystyle u}
c
{\displaystyle c}
ここで、コーシーデータ を使用したこのソリューションを検討します 。
あなた （ x 、 0 ） = グ （ x ） 、
あなた
t
（ x 、 0 ） = h （ x ）
{\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)}
を使用すると 、 が得られます 。
あなた （ x 、 0 ） = グ （ x ）
{\displaystyle u(x,0)=g(x)}
ふ （ x ） + グ （ x ） = グ （ x ）
{\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}
を使用すると 、 が得られます 。
あなた
t
（ x 、 0 ） = h （ x ）
{\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}
c
ふ ′
（ x ） − c
グ ′
（ x ） = h （ x ）
{\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}
最後の式を積分すると、
c ふ （ x ） − c グ （ x ） =
∫
− ∞
x
h （ ξ ） d ξ +
c
1
。
{\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}
この連立方程式を解くと、
ふ （ x ） =
− 1
2 c
（
− c グ （ x ） −
（
∫
− ∞
x
h （ ξ ） d ξ +
c
1
）
）
{\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)}
G
(
x
)
=
−
1
2
c
(
−
c
g
(
x
)
+
(
∫
−
∞
x
h
(
ξ
)
d
ξ
+
c
1
)
)
.
{\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).}
さて、
u
(
x
,
t
)
=
F
(
x
+
c
t
)
+
G
(
x
−
c
t
)
{\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}
ダランベールの公式は次のようになる: [2]
u
(
x
,
t
)
=
1
2
[
g
(
x
−
c
t
)
+
g
(
x
+
c
t
)
]
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
h
(
ξ
)
d
ξ
.
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}
非同次正準双曲型微分方程式の一般化 非同次正 準双曲型微分方程式
の一般的な形は、
次のようになります 。
u
t
t
−
c
2
u
x
x
=
f
(
x
,
t
)
,
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
,
u
t
(
x
,
0
)
=
h
(
x
)
,
{\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}
−
∞
<
x
<
∞
,
t
>
0
,
f
∈
C
2
(
R
2
,
R
)
{\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )}
定数係数を持つすべての 2 階微分方程式は、それぞれの標準形 に変換できます。この方程式は、 楕円偏微分方程式 、 放物型偏微分方程式 、 双曲型偏微分方程式 の 3 つのケースのいずれかです 。
同次微分方程式 と 非同次 （偏） 微分方程式 の唯一の違いは 、同次形式では右辺（ ）に 0 のみを許すのに対し、非同次形式ではより一般的であり、 連続し、2 回 連続微分 できる 限り、任意の関数にすることができることです 。
f
(
x
,
t
)
=
0
{\displaystyle f(x,t)=0}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
上記の方程式の解は次の式で与えられます。
u
(
x
,
t
)
=
1
2
(
g
(
x
+
c
t
)
+
g
(
x
−
c
t
)
)
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
h
(
s
)
d
s
+
1
2
c
∫
0
t
∫
x
−
c
(
t
−
τ
)
x
+
c
(
t
−
τ
)
f
(
s
,
τ
)
d
s
d
τ
.
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .}
の場合 、解から最初の部分が消え、 の場合 、2 番目の部分が消え、 の場合 、解から 3 番目の部分が消えます。これは、任意の 2 つの境界間で 0 関数を積分すると、常に 0 になるからです。
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(x)=0}
h
(
x
)
=
0
{\displaystyle h(x)=0}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
参照
注記
^ D'Alembert (1747) 「Recherches sur la courbe que forme unecorde tenduë misse en vibration」（振動に設定されたとき、緊張したコード [弦] が形成される曲線に関する研究）、 Histoire de l'académie Royale des Sciencesベルリンとベルの手紙 、vol. 3、214〜219ページ。参照: D'Alembert (1747)「Suite des recherches sur la courbe que forme unecorde tenduë misse envibration」(振動に設定されたときに緊張したコードが形成される曲線についてさらに研究)、 Histoire de l'académie Royaleベルリンの科学と美の手紙 、vol. 3、220～249ページ。参照: D'Alembert (1750) 「Addition au mémoire sur la courbe que forme unecorde tenduë misse envibration」、 Histoire de l'académie Royale des Sciences et belles lettres de Berlin 、vol. 6、355〜360ページ。 ^ ピンチョーバー、イェフダ、ルービンシュタイン、ジェイコブ（2013）。 偏微分方程式入門 （第8刷）。ケンブリッジ大学出版局。pp. 76–92。ISBN 978-0-521-84886-2 。
外部リンク https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html [ 永久リンク切れ ]
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f1b7e98c590ae78f30a8d5e45f3d81a4618eee)
