クロスグラミアン

制御理論において、交差グラミアン（、 とも呼ばれる）は、線形システムがどの程度制御可能で観測可能であるかを決定するために使用されるグラミアン行列である。 ^{[1] [2]}${\displaystyle W_{X}}$${\displaystyle W_{CO}}$

安定した時間不変線形システム の場合

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu\,}$

${\displaystyle y=Cx\,}$

交差グラミアンは次のように定義されます。

${\displaystyle W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,}$

そして、シルベスター方程式の解によっても次のように表される。

${\displaystyle AW_{X}+W_{X}A=-BC\,}$

これは、交差グラミアンが一般に半正定値でも対称でもないことから、 厳密にはグラミアン行列ではないことを意味します。

３つ組は、行列が非特異（つまり、任意の に対してフルランクを持つ） である場合にのみ、制御可能かつ観測可能 であり、したがって極小です。${\displaystyle (A,B,C)}$${\displaystyle W_{X}}$${\displaystyle W_{X}}$${\displaystyle t>0}$

さらに、関連するシステムが対称的である場合、次のような変換が存在する。 ${\displaystyle (A,B,C)}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle AJ=JA^{T}\,}$

${\displaystyle B=JC^{T}\,}$

すると、交差グラミアンの固有値の絶対値はハンケル特異値に等しい：^[3]

${\displaystyle |\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,}$

このように、交差グラミアンの固有分解を直接切り捨てることで、バランスのとれた切り捨てとは対照的に、バランスをとる手順なしで モデルの次数を削減することができます（[1]を参照）。

クロスグラミアンは分散制御、感度解析、逆散乱変換にも応用されています。^{[4] [5]}

• 制御性グラミアン
• 可観測性グラミアン