コーツの螺旋

物理学および平面曲線の数学において、コーツの螺旋（コーツの螺旋、コーツ螺旋とも表記される）は、ロジャー・コーツによって分類された螺旋のファミリーの 1 つです。

コーツはこれらの曲線の分析を次のように紹介しています。「物体が、与えられた場所から与えられた速度と方向で、その距離の3乗の反比例する向心力の作用を受けたときに移動できるさまざまな種類の軌道をリストアップすることが提案されています。」（注：彼はそれらを螺旋とは表現していません。）^[1]

ファミリー内の螺旋の形状はパラメータに依存します。極座標( r , θ )、r > 0 の曲線は、次の 5 つの方程式のいずれかによって定義されます。

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\begin{cases}A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(k\theta +\varepsilon )\\A(k\theta +\varepsilon )\\A\cos(k\theta +\varepsilon )\\\end{cases}}}$

A > 0、k > 0、εは任意の実数定数です。Aはサイズを決定し、k は形状を決定し、ε は螺旋の角度位置を決定します。

コーツは、異なる形式を「ケース」と呼んだ。上記の曲線の方程式は、それぞれ彼の5つのケースに対応している。^[2]

図は、さまざまな曲線の代表的な例を示しています。中心は「O」でマークされ、θがゼロのときの O から曲線までの半径が表示されます。特に示されていない限り、 εの値はゼロです。

最初と 3 番目の形式はポアンソ螺旋、2 番目は等角螺旋、4 番目は双曲螺旋、5 番目は外螺旋です。

それぞれの特性の詳細については、個々の曲線を参照してください。

コーツの螺旋は、古典力学において、逆立方の中心力の下で運動する粒子の運動の解の族として現れる。中心力を考える。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu}{r^{3}}}{\hat {\boldsymbol {r}}},}$

ここで、μは引力の強さである。中心力の影響下で運動する粒子を考え、その特定の角運動量をhとすると、粒子はコーツの螺旋に沿って運動し、螺旋の 定数kは次のように与えられる。

${\displaystyle k={\sqrt {1-{\frac {\mu }{h^{2}}}}}$

μ < h ²（螺旋の 余弦形式）の場合、または

${\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\mu }{h^{2}}}-1}}}$

μ > h ²のとき、螺旋はポアンソ形状となる。μ = h ²のとき、粒子は双曲螺旋を描く。導出は参考文献を参照のこと。[ ^{3] [4]}

ロジャー・コーツは『ハーモニア・メンスララム』 （1722年）で、リトゥスなどの数多くの螺旋や曲線を分析した。彼は、逆立方体の中心力場における粒子の可能な軌道、すなわちコーツの螺旋について説明した。この分析は、プリンキピア第1巻、命題42の方法に基づいており、任意の中心力、初期速度、方向の下で物体の軌道が決定される。

彼は、初期速度と方向に応じて、5 つの異なる「ケース」があると判断しました (単純なケース、円、中心を通る直線は除きます)。

彼は、5 つのうち「最初と最後は、双曲線と楕円の求積法 (つまり積分) によって ニュートンによって記述されている」と述べています。

ケース 2 は等角螺旋で、これは螺旋の典型です。これは歴史的に大きな意義を持ちます。なぜなら、プリンキピア第 1 巻の命題 9 で、ニュートンは物体が中心力の作用を受けて等角螺旋に沿って動く場合、その力は半径の 3 乗の逆数でなければならないことを証明しているからです (証明の前の命題 11 で、焦点に向かう楕円運動には反比例の力が必要であると証明されています)。

すべての曲線が螺旋の通常の定義に適合するわけではないことを認めなければなりません。たとえば、逆立方力が遠心力（外向き）で、μ < 0 の場合、曲線は中心の周りを 1 回転もしません。これは、上記の極方程式の最初のケース 5 で表され、この場合は k > 1です。

サミュエル・アーンショーは1826年に出版した本の中で「コーツの螺旋」という用語を使っており、その用語は当時使われていた。^[5]アーンショーはコーツの5つのケースを明確に説明し、力が遠心力（反発力）の場合の6番目のケースを不必要に追加している。上で述べたように、コーツはこれをケース5に含めた。

ET・ウィテカーの著書『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文』（1904年初版）では、コーツの螺旋のうち3つしか記載されていなかったが、 ^[6]その後の著者もそれに倣った。^[7]

• Whittaker, ET (1927)。『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文、三体問題への序論』（第3版）。ケンブリッジ大学出版局。pp. 80–83。
• ロジャー・コーツ(1722) 『Harmonia Mensuarum』、31、98 ページ。
• アイザック・ニュートン(1687) 『自然哲学原理』第 1 巻、§2、命題 9、§8、命題 42、系 3、および §9、命題 43、系 6
• Danby JM (1988)。「ƒ( r ) = μ / r  ³の場合- コーツ螺旋 (§4.7)」。天体力学の基礎(第 2 版、改訂版)。バージニア州リッチモンド: Willmann-Bell。69 ～ 71 ページ。ISBN 978-0-943396-20-0。
• Symon KR (1971)。『力学』（第3版）。マサチューセッツ州レディング：Addison-Wesley。p. 154。ISBN 978-0-201-07392-8。
• サミュエル・アーンショウ (1832)。『力学、あるいは運動に関する初等的論文および引力に関する小論文』（第 1 版）。J. & JJ Deighton、および Whittaker、Treacher、Arnot。p. 47。
• Kelley, J. Daniel; Leventhal, Jacob J. ( 2016年 11 月)。「中心力と軌道」。古典力学と量子力学の問題。Springer International Publishing。pp. 67–94。doi :10.1007 / 978-3-319-46664-4_3。ISBN 9783319466644。

• Weisstein, Eric W.「Cotes のスパイラル」。MathWorld。