連続埋め込み

数学において、あるノルムベクトル空間が別のノルムベクトル空間に連続的に埋め込まれているとは、それらの間の包含関数が連続である場合をいう。ある意味では、2つのノルムは同じ空間上で定義されているわけではないにもかかわらず、「ほぼ同等」である。ソボレフ埋め込み定理のいくつかは、連続埋め込み定理である。

XとYをそれぞれノルム ||·|| _Xと ||·|| _Yを持つ 2 つのノルム付きベクトル空間とし、 X  ⊆ Yとする。包含写像 (恒等関数)が 

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y:x\mapsto x}$

連続である、すなわち定数C  >  0が存在して、

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$

Xの任意のxに対して、X はYに連続的に埋め込まれていると言われます。一部の著者は、連続埋め込みを表すために鉤状の矢印 "↪" を使用します。つまり、「X ↪ Y」は「XとYは、 X がYに連続的に埋め込まれたノルム空間である」という意味になります。これは、射(「矢印」) が連続線形写像である位相ベクトル空間のカテゴリの観点から一貫した表記法です。  

• 連続埋め込みの有限次元の例としては、実数直線X  = Rを平面Y = R ²に自然に埋め込む例が挙げられる。ここで、両方の空間にはユークリッドノルムが与えられている。   

${\displaystyle i:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2}:x\mapsto (x,0)}$

この場合、すべての実数Xに対して || x || _X  =  || x || _Yが成り立ちます。明らかに、定数Cの最適な選択はC = 1です。  

• 連続埋め込みの無限次元の例は、レリッヒ・コンドラチョフの定理によって与えられる。Ω  ⊆ R ^{n を}開かつ有界なリプシッツ領域とし、1 ≤ p < nとする。     

${\displaystyle p^{*}={\frac {np}{np}}.}$

すると、ソボレフ空間W ^{1, p} ( Ω ; R ) はL ^p空間L ^{p ∗} ( Ω ; R )に連続的に埋め込まれます。実際、1 ≤ q < p ^∗の場合、この埋め込みはコンパクトです。最適な定数Cは、領域Ωの形状に依存します。      

• 無限次元空間も不連続埋め込みの例を提供する。例えば、

${\displaystyle X=Y=C^{0}([0,1];\mathbf {R} ),}$

単位区間上で定義された連続実数値関数の空間であるが、XにはL ¹ノルムを、Yには上限ノルムを与える。n ∈ Nに対して、f _{n を}次の式で与えられる連続区分線形関数とする。  

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-n^{2}x+n,&0\leq x\leq {\tfrac {1}{n}};\\0,&{\text{それ以外の場合。}}\end{cases}}}$

すると、すべてのnに対して、|| f _n || _Y  =  || f _n || _∞  = nとなるが、 

${\displaystyle \|f_{n}\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|f_{n}(x)|\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}.}$

したがって、 || f _n || _Y ≤ C || f _n || _Xとなるような定数C は存在せず、 XからYへの埋め込みは不連続である。  

• コンパクト埋め込み

• Renardy, M. & Rogers, RC (1992).偏微分方程式入門. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-97952-2。