コンパクトな埋め込み

数学において、コンパクトに埋め込まれるという概念は、1 つの集合または空間が別の集合または空間に「適切に含まれている」という考えを表します。この概念には、一般位相幾何学や関数解析に適したバージョンがあります。

( X ,  T ) を位相空間とし、VとW をXの部分集合とする。 V はWにコンパクトに埋め込まれていると言い、V  ⊂⊂  Wと書く。

• V  ⊆ Cl( V ) ⊆ Int( W )、ここで Cl( V ) はVの閉包を表し、 Int( W ) はWの内部を表す。
• Cl( V )はコンパクトである。

XとY をそれぞれノルム ||•|| _Xと ||•|| _{Y を}持つ2つのノルム付きベクトル空間とし、 X  ⊆  Yと仮定する。 X はYにコンパクトに埋め込まれていると言い、X  ⊂⊂  YまたはX  ⋐  Yと書く。

• X はYに連続的に埋め込まれている。つまり、 X内のすべてのxに対して|| x || _Y  ≤  C || x || _Xとなる定数C が存在する。
• X をYに埋め込むことはコンパクトな演算子です。つまり、X内の任意の有界集合はY内で完全に有界です。つまり、そのような有界集合内のすべてのシーケンスには、ノルム ||•|| _Y内でコーシーである部分シーケンスがあります。

Y がバナッハ空間である場合、同等の定義は、埋め込み演算子（恒等演算子）i  :  X  →  Yがコンパクト演算子であるということです。

関数解析に適用する場合、このバージョンのコンパクト埋め込みは通常、関数のバナッハ空間で使用されます。ソボレフの埋め込み定理のいくつかは、コンパクト埋め込み定理です。埋め込みがコンパクトでない場合は、関連するがより弱いココンパクト性という特性を持つ場合があります。

• アダムス、ロバート A. (1975)。ソボレフ空間。ボストン、マサチューセッツ州:アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-044150-1。。
• エヴァンス、ローレンス C. (1998)。偏微分方程式。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-0772-2。。
• Renardy, M. & Rogers, RC (1992)。偏微分方程式入門。ベルリン: Springer- Verlag。ISBN 3-540-97952-2。。