連続関数のグラフ

数学、特にゲーム理論や数理経済学において、関数は、そのグラフ（すべての入力と出力のペアの集合）が定義域と値域の積位相において閉集合である場合に、グラフ連続であると言います。より簡単に言えば、グラフ上の点の列が収束する場合、その極限点もグラフに含まれなければなりません。この概念は、関数解析における閉グラフの性質に関連しており、経済モデルにおける均衡分析を可能にすると同時に、より広範な不連続な利得関数を扱うことを可能にします。

グラフの連続性は、パルタ・ダスグプタとエリック・マスキンが1986年に発表した、不連続な経済ゲームにおける均衡の存在に関する論文で注目を集めました。^{[ 1 ]}入力のわずかな変化が出力のわずかな変化を生み出すことを要求する標準的な連続性とは異なり、グラフの連続性は、ある程度良好な不連続性を許容します。この特性は、利得の不連続性が自然に発生するオークション理論、寡占モデル、立地競争などの設定で均衡を確立するために重要です。

ゲームを考えてみましょう${\displaystyle N}$エージェントとエージェント${\displaystyle i}$戦略を持つ${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {R} }$; 書く${\displaystyle \mathbf {a} }$N 個のアクションのタプルの場合（つまり${\displaystyle \mathbf {a} \in \prod _{j=1}^{N}A_{j}}$） そして${\displaystyle \mathbf {a} _{-i}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{N})}$エージェントを除くすべてのエージェントのアクションのベクトルとして${\displaystyle i}$。

させて${\displaystyle U_{i}:A_{i}\longrightarrow \mathbb {R} }$エージェントの利得関数とする${\displaystyle i}$。

ゲームは次のように定義されます。${\displaystyle [(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]}$。

関数${\displaystyle U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R} }$すべての​${\displaystyle \mathbf {a} \in A}$関数が存在する${\displaystyle F_{i}:A_{-i}\longrightarrow A_{i}}$そのため${\displaystyle U_{i}(F_{i}(\mathbf {a} _{-i}),\mathbf {a} _{-i})}$連続$\displaystyle \mathbf {a} _{-i}}$。

ダスグプタとマスキンはこの性質を「グラフ連続性」と名付けました。なぜなら、他のプレイヤーの戦略を固定したまま、プレイヤー自身の戦略の関数としてプレイヤーの利得をグラフにプロットした場合、グラフ連続な利得関数であれば、他のプレイヤーの戦略を変化させると、このグラフは連続的に変化するからです。

この性質は、以下の定理の観点から興味深い。

もし、${\displaystyle 1\leq i\leq N}$、${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$は空ではなく、凸でコンパクトである。そして、もし${\displaystyle U_{i}:A\longrightarrow \mathbb {R} }$準凹型​${\displaystyle a_{i}}$、上半連続${\displaystyle \mathbf {a} }$、そしてグラフが連続である場合、ゲーム${\displaystyle [(A_{i},U_{i});i=1,\ldots ,N]}$純粋戦略ナッシュ均衡を持つ。

• パルタ・ダスグプタ、エリック・マスクイン1986年「不連続経済ゲームにおける均衡の存在、I：理論」 『経済研究レビュー』53(1):1–26