解析と物理学における計算可能性

Computability in Analysis and Physics は、マリアン・プール・エルと J. イアン・リチャーズによる計算可能解析に関するモノグラフです。1989 年にSpringer-Verlag社の Perspectives in Mathematical Logic シリーズで出版され、 2016 年にAssociation for Symbolic LogicとCambridge University Press社の Perspectives in Logic シリーズで再版されました。

この本は、アラン・チューリングによって創設され、解析における構成の計算可能性に関係する数学解析学の一分野である計算可能解析に関するものである。この分野は、構成的解析、逆数学、数値解析と関連しているが、異なるものである。この分野の初期の発展は、オリバー・アバースの著書「計算可能解析」（1980年）にまとめられており、 「解析と物理学における計算可能性」では、著者らによるこの分野での大幅な発展を組み込んだ最新情報を提供している。^[1]アンドレイ・マルコフ・ジュニア率いるロシアの計算可能解析学派とは対照的に、この学派は、計算可能性を、計算可能オブジェクトのみに関係する理論を展開するのではなく、数学的オブジェクトの際立った特性とみなしている。^[2]

本書の最初のセクションでは、計算可能解析を紹介し、導関数が計算可能でない計算可能連続微分可能関数のジョン・マイヒルの例^[1]に至り、残りの 2 つのパートでは著者らの結果について論じている。^[3]これらには、計算可能自己随伴演算子の場合、固有値は個別に計算可能であるがそのシーケンスは (一般に) 計算可能ではないこと、0 が計算可能固有ベクトルを持たない重複度 1 の固有値である計算可能自己随伴演算子の存在、演算子 の計算可能性と有界性の同値性などが含まれる。^[1]著者らの主なツールには、計算可能性構造、バナッハ空間とそのシーケンスの公理的に特徴付けられた集合のペア、および有効生成集合、つまり線形スパンが空間内で稠密であるシーケンスの集合のメンバーの概念が含まれる。 ^{[3] [4]}

著者らは、微分方程式の解の計算可能性に部分的に動機づけられている。著者らは、波動方程式の計算可能かつ連続な初期条件（ただし、計算不可能な勾配）の例を示しており、これは後に連続ではあるが計算不可能な解につながる。^{[3] [4]しかし、著者らは、この現象は}熱方程式やラプラス方程式では発生しないことを示している。^[2]

この本には未解決の問題も収録されており^{[2] [4]、}読者にこの分野でのさらなる研究を促すものとなるだろう。^[3]

この本は自己完結型で、数学的解析と計算可能性の研究者を対象としている。^[1]査読者のダグラス・ブリッジズとロビン・ガンディは、この本がこの2つのグループのどちらを対象としているのかについて意見が一致していない。^{[3] [4]}共著者のマリアン・プールエルは数理論理学の出身であり、この本が出版された2つのシリーズのタイトルには両方とも論理が含まれているが、読者が論理に精通していることは期待されていない。^[2]

評論家のロッド・ダウニーは、プレゼンテーションの形式性と著者が計算可能解析の最近の進展をすべて含めることを目指していないことに不満を述べているにもかかわらず、この本は「この分野の研究をしている人にとっては明らかに必読である」と書き、^[1]ガンディは「興味深く、読みやすく、非常によく書かれた本」と呼んでいる。^[4]