リチャード・W・コトル

リチャード・W・コトル
生まれる	1934年6月29日 イリノイ州シカゴ
国籍	アメリカ人
母校	ハーバード大学、カリフォルニア大学バークレー校

リチャード・W・コトル（1934年6月29日）はアメリカの数学者。1966年に産業工学の臨時助教授に就任し、2005年に退職するまでスタンフォード大学の経営科学および工学の教授を務めた。数理計画法/最適化、「非線形プログラム」、線形相補性問題の提案、およびオペレーションズ・リサーチ全般に関する研究で著名である。

コトルは1934年6月29日、シカゴでチャールズとレイチェルの子として生まれた。彼はイリノイ州オークパークの隣村で小学校教育を始め、オークパーク・リバーフォレスト高校を卒業した。その後、ハーバード大学に入学し、政治学を学び、医学部進学準備コースを受講した。最初の学期の後、彼は専攻を数学に変更し、学士号（優等）と修士号を取得した。1958年頃、彼は中等教育レベルの数学を教えることに興味を持ち、マサチューセッツ州コンコードのミドルセックス学校の数学科に加わり、そこで2年間過ごした。後半の期間の半ばに、彼は妻のスザンヌと結婚した。^[1]

ミドルセックス校で教えている間に、彼はカリフォルニア大学バークレー校の数学博士課程に応募し、幾何学を専攻するつもりで入学した。一方、バークレーの放射線研究所からパートタイムのコンピュータプログラマーとしてオファーも受けた。線形計画法や二次計画法を含むその仕事を通じて、彼はジョージ・ダンツィグとフィリップ・ウルフの研究を知ることになった。その後すぐに、彼はカリフォルニア大学バークレー校オペレーションズリサーチセンター (ORC) のダンツィグのチームのメンバーになった。そこで彼は二次計画法と凸計画法を研究する機会を得た。これはダンツィグとエドマンド・アイゼンバーグの指導の下で博士論文へと発展した。コトルの最初の研究貢献である「対称双対二次計画法」は 1963 年に出版された。これはすぐにダンツィグとアイゼンバーグとの共著論文「対称双対非線形計画法」で一般化された。このことから、いわゆる「複合問題」、つまり対称双対計画の一次最適条件が検討されることになった。これは「基本問題」と名付けられ、さらに後には（より一般的な文脈で）「相補性問題」と名付けられた。この問題の特殊なケースである「線形相補性問題」^[4]は、コトルの研究成果の主要部分を占めている。また、1963年には、フィリップ・ウルフの指導のもと、ランド研究所で夏季コンサルタントとして働いていた。その結果、ランド研究所のメモ RM-3858-PR、「数理計画におけるフリッツ・ジョンの定理」が生まれた。

1964年、バークレーで博士号を取得後、ニュージャージー州ホルムデルのベル電話研究所に勤務。1965年、スタンフォード大学のORプログラムを訪問するよう招かれ、1966年にスタンフォード大学産業工学科の臨時助教授に就任。翌年、スタンフォード大学に新設されたオペレーションズ・リサーチ学部の助教授に就任。1969年に准教授、1973年に教授に就任。1990年から1996年まで学部長を務めた。スタンフォード大学で39年間教鞭を執る間に、国内および国際会議で30回以上指導的役割を果たした。8つの学術雑誌の編集委員を務め、Mathematical Programming誌の編集長を務めた。2つの学部の合併後は、工学経済システムおよびオペレーションズ・リサーチ学部（EES & OR）の副学部長を務めた。 2000 年、EES と OR は再び合併し、今度は工業工学および工学管理部門と合併して経営科学および工学 (MS&E) が設立されました。ハーバード大学とMITでのサバティカル期間中(1970-1971 年)、彼は最も引用されている論文の 1 つである「シューア補完の顕在化」を執筆しました。1974 年には、最も有名な出版物の 1 つである「線形補完問題」に取り組み始めました。 1980年代半ば、彼の元教え子であるジョン・シー・パンとリチャード・E・ストーンの2人が共著者となり、この本は1992年に出版されました。『線形相補性問題』は1994年にオペレーションズ・リサーチおよび経営科学研究所（INFORMS）のフレデリック・W・ランチェスター賞を受賞しました。『線形相補性問題』は2009年に工業応用数学協会の「応用数学の古典シリーズ」シリーズで再出版されました。1978年から1979年にかけて、彼はボン大学とケルン大学で1年間の長期休暇を過ごしました。そこで彼は「厄介な線形相補性問題のクラスに関する観察」という論文を執筆しました。この論文では、線形計画法の単体法の指数時間挙動に関する有名な Klee-Minty の結果と、0 から 2^n - 1 までの整数のバイナリ グレイ コード表現を持つ n キューブ上の LCP とハミルトン経路に関する Lemke アルゴリズムの同様の挙動を関連付けています。またこの間、彼は n = 4 の場合の n キューブの最小三角分割問題を解き、n = 5 の制限されたケースを解決するために Mark Broadie と協力しました。2006 年に彼は INFORMS ^[5]のフェローに任命され、2018 年には Saul I. Gass Expository Writing Award を受賞しました。

コトルは、線形相補性問題 (LCP) に関する膨大な出版物で最もよく知られています。この研究には、分析研究、アルゴリズム、および LCP と行列理論および線形不等式理論の相互作用が含まれます。その多くは、初期の論文のいくつかで共同執筆したジョージ ダンツィグの指導を受けた博士論文の成果です。代表的な例は、1968 年に出版された「数理計画法の相補ピボット理論」です。

LCP の標準形式は次のマッピングです。

${\displaystyle f:R^{n}\rightarrow R^{n}\mathrm {\textvisiblespace} f(x)=q+Mx}$（１）

が与えられたとき、 、と なるベクトルを求める。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in R^{n}}$${\displaystyle x_{i}\geq 0}$${\displaystyle f_{i}(x)\geq 0}$${\displaystyle x_{i}f_{i}(x)=0}$${\displaystyle i=1,2,...,n}$

アフィン写像fはベクトルと行列で指定されるため、この問題は通常LCP( q , M )または単に( q , M )と表記される。fがアフィンでない形式(1)のシステムは非線形相補性問題と呼ばれ 、NCP()と表記される。CP()という表記は両方の場合をカバーすることを意図している。" ^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

コトルとヴェイノットの論文によると、「固定されたm n行列Aに対して、多面体集合の族を考え、 Aに関して、すべての空でないX_b が最小の要素を持つ状況を特徴付ける定理を証明する。 Aがn n単位行列のすべての行を含む特殊なケースでは、条件はA^Tがレオンチェフであることと同等である。」^[7]${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X_{b}=\{x|Ax\geq b\},\mathrm {\textvisiblespace} b\in R_{m}}$${\displaystyle \times }$

このリストはウェブサイトから取得したものです。^[8]

• リチャード・W・コトル：「先史時代の」線形計画法と地球の形について。J. 最適化理論と応用 175(1): 255-277 (2017)
• Ilan Adler、Richard W. Cottle、Jong-Shi Pang: Lemke アルゴリズムで強多項式時間で解ける LCP のいくつか。数学プログラム。160(1-2): 477-493 (2016)
• リチャード・W・コトル：線形相補性問題の文献に見られる行列クラスのフィールドガイド。J. Global Optimization 46(4): 571-580 (2010)
• リチャード・W・コトル：数理計画に関する国際シンポジウムの簡単な歴史。数学。プログラム。125(2): 207-233 (2010)
• リチャード・W・コトル: 線形相補性問題。最適化百科事典 2009: 1873-1878
• リチャード・W・コトル、イングラム・オルキン：最大化問題の閉形式解。J. Global Optimization 42(4): 609-617 (2008)
• リチャード・W・コトル：書評。最適化手法とソフトウェア 23(5): 821-825 (2008)
• リチャード・W・コトル：ジョージ・B・ダンツィグ：数理計画における伝説の人生。数学。プログラム。105(1): 1-8 (2006)
• Ilan Adler、Richard W. Cottle、Sushil Verma: 十分な行列は L に属する。数学。プログラム。106(2): 391-401 (2006)
• リチャード・W・コトル：ジョージ・B・ダンツィグ：オペレーションズ・リサーチ・アイコン。オペレーションズ・リサーチ53(6):892-898 (2005)
• リチャード・W・コトル：四次障壁。Comp. Opt. and Appl. 12(1-3): 81-105 (1999)
• リチャード・W・コトル：線形計画法と関連問題（エヴァー・D・ネリングとアルバート・W・タッカー）。SIAMレビュー36（4）：666-668（1994）
• リチャード・W・コトル：主ピボット法の再考。数学プログラム。48：369-385（1990）
• _{ムハメド・アガナギック、リチャード・W・コトル：非負主マイナーを持つQ o}行列の構成的特徴付け。数学プログラム。37(2): 223-231 (1987)
• マーク・ブローディ、リチャード・W・コトル：5次元立方体の三角測量に関するノート。離散数学52(1):39-49 (1984)
• リチャード・W・コトル、リチャード・E・ストーン：線形相補性問題の解の一意性について。数学プログラム。27(2): 191-213 (1983)
• リチャード・W・コトル：4次元立方体の最小三角分割離散数学40(1):25-29 (1982)
• リチャード・W・コトル「厄介な線形相補性問題に関する考察」離散応用数学 2(2): 89-111 (1980)
• ヨウ・イエ・チャン、リチャード・W・コトル：二次計画法における退化の最小指数解決。数学プログラム。18(1): 127-137 (1980)
• リチャード・W・コトル：ジャーナル。数学。プログラム。19(1): 1-2 (1980)
• リチャード・W・コトル：完全行列。数学プログラム。19(1): 347-351 (1980)
• ムハメド・アガナジック、リチャード・W・コトル：Q行列に関するノート。数学プログラム。16(1): 374-377 (1979)
• リチャード・W・コトル、ジョン・シー・パン：線形相補性問題を線形計画法として解く最小要素理論。数学オペラ研究3(2):155-170 (1978)
• リチャード・W・コトル：二次形式に関する2つの論文についての3つのコメント。Zeitschr. für OR 19(3): 123-124 (1975)
• リチャード・W・コトル：書評。数学プログラム。4(3):349-350 (1973)
• リチャード・W・コトル：パラメトリック線形相補性問題の単調解。数学プログラム。3(1): 210-224 (1972)
• リチャード・W・コトル、ジャック・A・フェルランド：非負変数の擬似凸関数について。数学プログラム。1(1):95-101 (1971)
• リチャード・W・コトル：編集者への手紙 - 凸集合上の二次形式の凸性について。オペレーションズ・リサーチ 15(1): 170-172 (1967)

1. 国際線形代数学会 1989–2005。
2. 数学研究、オコノミー、およびオペレーションズ リサーチ 1984 ～ 1998 年
3. 数理計画学会 1970
4. インフォーム1995
5. 経営科学研究所1967–1995
6. アメリカオペレーションズリサーチ協会1962–1995
7. 工業応用数学協会1966
8. アメリカ数学協会1958-2017
9. アメリカ数学会1958

RW コトルとGB ダンツィグ。数理計画法の相補ピボット理論。線形代数とその応用、1:103-125、1968 年