コマンディーノの定理

フェデリコ・コマンディーノ（1509-1575）にちなんで名付けられたコマンディーノの定理は、四面体の4つの中線が点Sで交わり、3:1の比率で分割されることを述べています。四面体では、中線は頂点と反対側の面の重心、つまり反対側の三角形の重心を結ぶ線分です。点Sは四面体の重心でもあります。^{[1] [2] [3]}

この定理はコマンディーノのものとされており、彼は著書『立体の重心』（1565年）の中で、四面体の4つの中線は互いに重なり合っていると述べている。しかし、19世紀の学者ギヨーム・リブリによると、フランチェスコ・マウロリコ（1494年 - 1575年）が以前にこの定理を発見したと主張している。リブリはそれでも、レオナルド・ダ・ヴィンチはさらに以前にこの定理を知っており、ダ・ヴィンチは自分の著作でこの定理を使用していたと思われると考えていた。ジュリアン・クーリッジもこの見解に賛同したが、ダ・ヴィンチの著作にはこの定理の明確な記述や数学的処理が見当たらない点を指摘した。^[4]他の学者は、この定理は古代ギリシャの数学者には既に知られていたのではないかと推測している。^[5]

コマンディーノの定理は、任意の次元の単体に対して直接類似している：^[6]

を のある次元の -単体とし、をその頂点とします。さらに、、 を の中線、つまり各頂点と反対の-次元面の重心とを結ぶ線とします。すると、これらの線はの比で点で交差します。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d}$${\displaystyle d>1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)}$${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}}$${\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d:1}$

前者の類似性は、物理学におけるレバーの働きに類似した、より一般的な次の結果によって簡単に証明できる。 ^[7]

と を自然数とすると、-ベクトル空間では、2 つの異なる点が与えられます。${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle m+k}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$

を点 の重心とし、を点 の重心とし、をこれらすべての点の重心とします。${\displaystyle S_{X}}$${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$${\displaystyle S_{Y}}$${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m+k}$

そして、

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}$

特に、重心は直線上にあり、直線を の比率で分割します。${\displaystyle S}$${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$${\displaystyle k:m}$

前述の定理は、前述のコマンディーノの定理の一般化以外にも興味深い結果をもたらす。この定理は、ドイツの物理学者フリードリヒ・エドゥアルト・ロイシュ [de]が数学の理論で初めて述べた、四面体の重心に関する次の定理を証明するために使用できる。^{[8] [9]}

四面体の重心は、その反対側の 2 辺のペアの中点を取り、対応する中点をそれぞれの中線で結ぶことで見つけることができます。両方の中線の交点が四面体の重心になります。

四面体には3対の6つの辺があるため、次の系が成り立つ。^[8]

四面体では、反対側の辺の中点に対応する 3 つの中線は平行であり、その交点は四面体の重心になります。

ロイシュの定理の特殊なケースとして、四面体の4つの頂点がすべて同一平面上にあり、それによって四辺形に退化する、ピエール・ヴァリニョンにちなんで名付けられたヴァリニョンの定理は、次のことを述べています。^{[10] [11]}

四辺形が与えられているとします。反対の辺の中点を結ぶ 2 つの中線は四辺形の重心で交差し、それによって半分に分割されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Weisstein, Eric W.「Commandino の定理」。MathWorld。
• 中央値プロパティの優れた拡張