クローンの独立性基準

社会的選択理論における「（無関係な）クローンの独立性」基準は、クローン、つまり既存の候補者に非常によく似た新しい候補者を追加しても、結果が損なわれてはならないとしています。[ ^{1]これは、} 「無関係な選択肢の独立性（IIA）」基準の弱い形であると考えられますが、それでも多くの投票ルールでは満たされません。この基準を満たす方法は、クローンに依存しないと言われています。^[2]

候補者のグループが、すべての投票者によって常に一緒にランク付けされ、隣り合わせにされている場合、そのグループはクローンと呼ばれます。つまり、どの投票者も、クローン以外の候補者をクローンと同等か中間にランク付けしません。言い換えると、候補者のクローン化のプロセスでは、既存の候補者Cを取り、それを複数の候補者C1、C2 、…に置き換えます。これらの候補者は、元の投票用紙のCがあった場所に挿入され、クローンの順序は自由です。クローンのセットに少なくとも 2 人の候補者が含まれている場合、基準では、クローンの 1 つを削除しても、クローンのセットに含まれていない候補者の当選確率が増減してはならないとされています。

順位付けされたペア、シュルツ法、および無関係な選択肢の独立性を無条件に満たすシステムはクローン独立性がある。同順位が認められない限り、即決投票は成立する。同順位が認められる場合、クローン独立性は基準がどのように定義され、同順位がどのように扱われるかという具体的な詳細に依存する。^[3]

特定の条件下ではネタバレ防止となる範囲投票や多数決などの評価方法は、その条件下ではクローン独立でもあります。

ボルダカウント、ミニマックス、ケメニー・ヤング、コープランド法、多数決、2ラウンド方式はすべてクローンの独立性基準を満たしていません。許容される順位の数を制限する投票方法も基準を満たしていません。クローンの追加により、投票者が他の候補者に関する好みを表現するスペースが不十分になる可能性があるためです。同様の理由で、そのような制限を課す投票形式は、クローンに依存しない方法が失敗する原因となる可能性があります。

この基準は非常に弱い。なぜなら、実質的に類似した（しかし完全に同一ではない）候補者を選挙に加えると、依然として結果に大きな影響を与え、票の分裂を引き起こす可能性があるからだ。例えば、即時決選投票に影響を与えるセンター・スクイーズ病理学は、複数の類似した（しかし同一ではない）候補者が同じ選挙で競い合うと、お互いの勝利の可能性が損なわれる傾向があることを意味する。^[4]

クローンの独立性が失われる選挙方法は、3 つの方法で発生します。

勝者のクローンを追加することで勝者が負ける可能性がある場合、その方法はクローンネガティブであり、票の分割を示します。第一優先多数決は、そのような方法の一般的な例です。

敗者のクローンを追加することで敗者かクローンのいずれかが勝利できる場合、その方法はクローン肯定的であり、チーム化を示します。ボルダ カウントはクローン肯定的方法の例です。実際、この方法はクローン肯定的であるため、どの候補者も単に「クローンして勝利する」ことができ、最も多くのクローンを実行した連合が勝者になります。

クローン陽性でもクローン陰性でもないのに、クローンの独立性の基準を満たさない方法もあります。これは混雑と呼ばれ、負け候補をクローンすると、勝者が 1 つの非クローンから別の非クローンに変わる場合に発生します。Copeland法は混雑を示す方法の例です。

A と B という 2 人の候補者がいる選挙を考えてみましょう。有権者が次のような好みを持っているとします。

候補者 A は 66% のボルダ ポイント (66%×1 + 34%×0) を獲得し、候補者 B は 34% (66%×0 + 34%×1) を獲得します。したがって、候補者 A が 66% の圧勝となります。

ここで、B の支持者が、B に非常に似ているが、すべての有権者から劣っているとみなされている追加の候補者 B ₂を指名したとします。A を好む 66% にとって、B は引き続き第 2 候補です。B を好む 34% にとって、A は引き続き最も好まれない候補者です。これで、有権者の好みは次のようになります。

候補者 A のボルダ ポイントは 132% (66%×2 + 34%×0) です。B は 134% (66%×1 + 34%×2) です。B _{2は 34% (66%×0 + 34%×1) です。B 2}の指名により勝者は A から B に変わり、圧勝が覆りますが、B ₂と B の類似性により、有権者の好みに関する追加情報は不要です。

同様の例を構築して、ボルダカウントが与えられれば、十分な数の候補者を追加することで、任意の大規模な圧勝を覆すことができることを示すことができます(少なくとも 1 人の投票者が圧勝者を好むと仮定)。たとえば、B より A の 90% の圧勝を覆すには、B と類似/劣る 9 つの選択肢を追加します。すると、A のスコアは 900% (90%×10 + 10%×0)、B のスコアは 910% (90%×9 + 10%×10) になります。

この戦略を利用するのに、有権者の好みに関する知識は必要ありません。各派閥は、自分たちの好む選択肢に似た候補をできるだけ多く指名するだけで済みます。

ゲーム理論によれば、典型的な選挙では、ボルダのこの操作可能性は深刻な問題となることが予想されます。特に、相当数の有権者が自分の誠実な優先順位で投票すると予想される場合 (多くの有権者が戦略的に洗練されていない公選選挙など。カリフォルニア工科大学のマイケル・R・アルバレスを引用) はそうです。少数派は通常、追加の候補者を指名する力を持っており、通常、類似した追加の候補者を見つけるのは簡単です。

公職に立候補する人々という文脈では、人々は問題に対して同様の立場を取る可能性があり、提案に対する投票という文脈では、同様の提案を構築するのは簡単です。ゲーム理論によれば、勝者は投票者の好みに関係なく、同様の候補者の数に依存するため、すべての派閥は可能な限り多くの同様の候補者を指名しようとするでしょう。

これらの例は、Copeland の方法がクローンの独立性基準に違反していることを示しています。

コープランドの方法は、混雑の影響を受けやすく、当選しなかった候補者のクローン（当選しなかった候補者）を追加することで選挙結果が変わります。候補者 A、B、B ₂、B ₃、C の 5 人と、次の好みを持つ 4 人の有権者を想定します。

B、B ₂、B _{3 は}クローン セットを形成することに注意してください。

クローンのうち 1 つだけが競合する場合、優先順位は次のようになります。

結果は次のように表にまとめられます。

• [X]は、列のキャプションに記載されている候補者を行のキャプションに記載されている候補者よりも好んだ有権者を示します。
• [Y]は、行のキャプションに記載されている候補者を列のキャプションに記載されている候補者よりも好んだ有権者を示します。

結果: C は 1 勝 0 敗、A は 1 勝 1 敗です。したがって、C がコープランド勝者に選出されます。

3 つのクローンすべてが競合すると仮定します。優先順位は次のようになります。

結果は次のように表にまとめられます。

結果: C は依然として 1 勝 0 敗ですが、A は 3 勝 1 敗です。したがって、A がコープランド勝者に選出されます。

A は自分が破った候補者のクローンから利益を得ますが、C はクローンのすべてと同点なので、クローンから利益を得ることができません。したがって、勝てなかった候補者 B のクローンを 2 つ追加することで、勝者が変わります。したがって、コープランドの方法は混雑に対して脆弱であり、クローンの独立性基準を満たしていません。

コープランドの方法は、チーム化に対しても脆弱です。つまり、クローンを追加すると、クローンのセットの勝利の可能性が高まります。ここでも、5 人の候補者 A、B、B ₂、B ₃、C と、次の好みを持つ 2 人の投票者を想定します。

B、B ₂、B _{3 は}クローン セットを形成することに注意してください。

クローンのうち 1 つだけが競合すると仮定します。優先順位は次のようになります。

結果は次のように表にまとめられます。

結果: A は 1 勝 0 敗、B は勝敗がないので、Aが Copeland の勝者に選出されます。

3 つのクローンすべてが競合した場合、優先順位は次のようになります。

結果は次のように表にまとめられます。

結果: A は 1 勝 0 敗ですが、B は 2 勝 0 敗です。したがって、B がコープランド勝者に選出されます。

B は劣ったクローンを追加することで利益を得ますが、A はクローンすべてと同点なのでクローンから利益を得ることができません。したがって、B のクローンを 2 つ追加することで、B は敗者から勝者に変わります。したがって、コープランドの方法はチーム化に対して脆弱であり、クローンの独立性基準を満たしていません。

A と B という 2 人の候補者がいて、投票者の 55% が B より A を支持しているとします。A は 55% 対 45% で選挙に勝利します。しかし、B の支持者が A に似た A ₂という代替案も指名したとします。B より A を支持する投票者の多くが A より A ₂も支持しているとします。彼らが A ₂に投票すると、A の合計が 45% を下回り、B が勝利します。

範囲投票は、無関係な選択肢の独立性を満たすという条件下で、クローンの独立性基準を満たします。投票者が立候補している候補者に依存しない絶対的な尺度を使用する場合、範囲投票は IIA を満たし、したがってクローン独立でもあります。

しかし、投票者が相対的な判断を下す場合、クローンが脱落するにつれて異なる候補者に対する評価が変わる可能性があり、その結果、範囲投票がクローンの独立性に失敗する可能性があります。これは、簡単な例で確認できます。

範囲投票では、投票者は最も好む選択肢に可能な限り最高のスコアを与え、最も好まない選択肢に可能な限り最低のスコアを与えることができます。これは戦略的に行うことも、選挙で重要な候補者に自分の評価を固定する自然な方法として行うこともできます。

まず、選択肢が 3 つあると仮定します。A、B、B ₂です。B _{2 は}B に似ていますが、A と B の支持者からは劣っていると考えられています。A を支持する投票者の優先順位は「A>B>B ₂」となり、A には可能な限り最高のスコア、B ₂には可能な限り最低のスコア、B にはその中間のスコア (最小値より大きい) を与えます。B の支持者の優先順位は「B>B ₂ >A」となり、B には可能な限り最高のスコア、A には最低のスコア、B ₂にはその中間のスコアを与えます。B が僅差で選挙に勝利したと仮定します。

ここで、B ₂が指名されなかったと仮定します。B に中間のスコアを与えていた A を支持する投票者は、B に最低スコアを与えることになりますが、B の支持者は依然として B に最高スコアを与えるため、勝者は A に変わります。このチーム効果は基準に違反します。B を支持する投票者が B よりも B _{2 を}好む場合、この結果は当てはまりません。なぜなら、B _{2 を}削除すると、B が A の支持者から受け取るスコアが減少するのと同様に、B が支持者から受け取るスコアが増加するからです。

そこから導き出される結論は、すべての有権者が特定の相対的な方法で投票することを考慮すると、範囲投票は、あなたが好む候補に似ているが、彼の有権者と対立候補の有権者によって明らかに劣っていると見なされる追加の選択肢を指名するインセンティブを生み出すということです。これは、対立候補を支持する有権者があなたの好む候補のスコアを上げる（劣るものと比較して優れているように見えるため）一方で、対立候補自身の有権者がスコアを下げることはないと予想されるためです。

承認投票の分析はより困難である。なぜなら、クローンの独立性の基準には順位付けが含まれており、承認投票には順位付けされたものよりも情報が少ないからである。^{[1] : 189}

無関係な選択肢の独立性を承認することはクローンの独立性を意味する ため、範囲投票と同じ前提条件で承認が承認されます。

さらに、クローンとは独立して同点が解消され、クローンが完全なクローンである場合、つまり、クローンの1つを承認する人は全員を承認し、クローンの1つを承認しない人は全員を承認しない場合、承認は通過します。^{[1] : 189–190}

この例では、ケメニー・ヤング法がクローンの独立性基準に違反していることを示しています。 5 人の候補者 A、B ₁、B ₂、B ₃、C と、次の好みを持つ 13 人の有権者を想定します。

B ₁、B ₂、B _{3 は}クローン セットを形成することに注意してください。

クローンの 1 つだけが競合すると仮定します。優先順位は次のようになります。

Kemeny–Young 法では、ペア比較のカウントを次の集計表に並べます。

すべての可能なランキングのランキングスコアは次のとおりです。

結果: ランキング B ₁ > C > A の順位が最高スコアです。したがって、B _{1 が}C と A に先んじて勝利します。

3 つのクローンすべてが競合すると仮定します。優先順位は次のようになります。

Kemeny–Young法では、ペア比較のカウントを次の集計表（）に並べます。 ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$

クローンは他のすべての候補に対して同一の結果を出すため、最適なランキングで順番にランク付けする必要があります。さらに、クローン内の最適なランキングは明確です: B ₁ > B ₂ > B ₃。実際、結果を計算するには、3 つのクローンを 1 つの統合された候補 B と見なすことができます。その勝敗は、各クローンの 3 倍の強さです。これに関するすべての可能なランキングのランキング スコアは次のとおりです。

結果: ランキング A > B ₁ > B ₂ > B ₃ > C の順で、ランキングスコアが最も高くなります。したがって、A はクローン B _iおよび C よりも勝者となります。

_{A はB}のクローン 2 つから利益を得ます。なぜなら A の勝利が 3 倍になるからです。つまり、B のクローン 2 つを追加することで、B は勝者から敗者に変わりました。したがって、Kemeny–Young 法はスポイラーに対して脆弱であり、クローンの独立性基準を満たしていません。

この例では、ミニマックス法がクローンの独立性基準に違反していることを示しています。4 人の候補者 A、B ₁、B ₂、B ₃と、次の好みを持つ 9 人の有権者を想定します。

B ₁、B ₂、B _{3 は}クローン セットを形成することに注意してください。

すべての優先順位は厳密なランキング（同等のものは存在しない）であるため、3 つのミニマックス法（勝利票、マージン、およびペアワイズ反対）はすべて同じ勝者を選出します。

クローンのうち 1 つだけが競合すると仮定します。優先順位は次のようになります。

結果は次のように表にまとめられます。

• [X]は、列のキャプションに記載されている候補者を行のキャプションに記載されている候補者よりも好んだ有権者を示します。
• [Y]は、行のキャプションに記載されている候補者を列のキャプションに記載されている候補者よりも好んだ有権者を示します。

結果: B がコンドルセ勝者です。したがって、Bがミニマックス勝者に選出されます。

ここで、3 つのクローンすべてが競合すると仮定します。優先順位は次のようになります。

結果は次のように表にまとめられます。

結果: A は最も大きな敗北を喫しました。したがって、Aがミニマックス勝者に選出されます。

クローンを追加することで、コンドルセの勝者 B _{1 は}敗北します。3 つのクローンはすべて、明らかに負けて互いに打ち勝ちます。A はその恩恵を受けます。したがって、B のクローンを 2 つ追加することで、B は勝者から敗者に変わります。したがって、ミニマックス法はスポイラーに対して脆弱であり、クローンの独立性基準を満たしません。

STAR 投票は、最も高い評価スコアを持つ 2 人の候補者の間で自動的に決選投票が行われます。この例では、ほぼ同じスコアを持つクローンが関与し、チーム化が示されています。

決勝に残ったのはエイミーとブライアンで、ブライアンがペアでエイミーに勝ち優勝した。^[5]

決勝に残ったのはエイミーと彼女のクローンであり、エイミーのクローンが優勝した。^[6]

• 戦略的指名
• スポイラー効果