関数のグラフπ （ x ; 4 、 3 ） − π （ x ; 4 、 1 ） {\displaystyle \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)} n ≤ 30000 の場合 数論 において、チェビシェフの偏り とは、多くの場合、4k + 3の形の素数は4k + 1 の形の素数 よりも多いという現象のことである（ただし、同じ極限値まで）。この現象は、 1853年にロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフ によって初めて観察された。
説明 π ( x ; n , m ) を、 x までのnk + m の形の素数の個数とする。素数定理 (等差数列 に拡張) により、
π （ x ; 4 、 1 ） ～ π （ x ; 4 、 3 ） ～ 1 2 x ログ x 。 {\displaystyle \pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}.} つまり、素数の半分は 4 k + 1 の形であり、残りの半分は 4 k + 3 の形である。妥当な推測としては、π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) とπ ( x ; 4, 1) < π ( x ; 4, 3) もそれぞれ 50% の確率で発生するだろう。しかし、これは数値的な証拠によって裏付けられていない。実際、π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) の方がはるかに頻繁に発生する。例えば、この不等式は、5、17、41、461 を除くすべての素数x < 26833 に対して成り立つ。これらの素数では π ( x ; 4, 1) = π ( x ; 4, 3) となる。π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3)となる最初のx は 26861 であり、つまり、すべてのx < 26861 に対して π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1)が成り立つ。
一般に、0 < a 、b < n が整数で、gcd ( a 、n ) = gcd( b 、n ) = 1、a がmod nの 2 次剰余 、bが mod n の 2 次非剰余である場合、π ( x ; n 、b ) > π ( x ; n 、a ) が頻繁に発生します。これは、リーマン予想 の強い形式を仮定することによってのみ証明されています。クナポフスキー とトゥラン のより強い予想、π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) が成り立つ数 x の密度が 1 (つまり、ほとんどすべての x に対して成り立つ) であるという予想は 、 誤り で あることが判明しました。ただし、対数密度は 存在し、それは約 0.9959.... [ 1 ]
一般化 これはk = −4 の場合、最小の素数p を見つけるためのもので、∑ q ≤ p 、 q プライム （ k q ） > 0 {\displaystyle \sum _{q\leq p,\ q\ {\text{は素数}}}\left({\frac {k}{q}}\right)>0} （ m n ） {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)} クロネッカーの符号 です。ただし、与えられたゼロでない整数k ( k = −4だけでなく) に対して、この条件を満たす最小の素数p を見つけることもできます。素数定理により、ゼロでないすべての整数kに対して、この条件を満たす素数 p は無限に存在します。
正の整数k = 1, 2, 3, ... に対して、最小の素数p は次のようになります。
2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... ( OEIS の 配列 A326615 ) 負の整数k = −1, −2, −3, ... に対して、最小の素数p は
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2、1019、5、263、11、3、2、26861、... （ OEIS の配列 A392284 ） 実二次体 の基本判別式 ( k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... ( OEIS の シーケンス A003658 ) ) の場合、最小の素数p は
2, 2082927221, 11100143, 61463, 2083, 2, 1217, 5, 3, 719, 2, 11, 3, 2, 7, 17, 11, 2, 7, 5, 2, 13, 2, 3, 23, 7, 3, 2, 13, 19, 2, 23, 17, 2, 5, 2, 7, 3, 2, 13, 3, 2, 19, 7, 2, 31, 31, 5, 17, 2, 13, 13, 3, 47, 2, 5, 3, 2, 37, 2, 47, 2, 5, 7, 2, 43, 2、3、11、5、3、2、29、... （ OEIS の配列 A306499 ） 虚二次体の基本判別式 ( k = −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, −56, −59, ... ( OEIS の シーケンス A003657 ) ) の場合、最小の素数p は
608981813029、26861、2、3、5、2、11、3、2、5、2、11、2、11、53、2、13、17、2、3、5、163、3、2、2、11、5、2、31、31、2、2、3、23、2、41、3、2、13、47、2、5、19、7、11、2、191、2、3、19、2、15073、3、2、29、5、2、41、109、2、11、2、31、59、3、2、 19、2、11、53、2、1019、137、... （ OEIS の配列 A306500 ） 正負の非平方 整数k に対して 、（ k p ） = − 1 \displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=-1} （ k p ） = 1 \displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=1}
より高出力の残留物への拡張 m とnを m ≥ 0、n > 0、gcd( m , n ) = 1を満たす整数とし、関数を定義する。 f （ m 、 n ） = ∑ p 素数です、 p ∣ φ （ n ） 、 x p ≡ m （ モジュール n ） 解決策があります （ 1 p ） 、 {\displaystyle f(m,n)=\sum _{p{\text{は素数、}}p\,\mid \,\varphi (n)、\ x^{p}\,\equiv \,m{\pmod {n}}{\text{は解を持つ}}}\left({\frac {1}{p}}\right),} φ {\displaystyle \varphi } はオイラーのトーシェント関数 です。
例えば、f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2、f (2, 5) = f (3, 5) = 0、f (1, 6) = 1/2、f (5, 6) = 0、f (1, 7) = 5/6、f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2、f (3, 7) = f (5, 7) = 0、f (6, 7) = 1/3、f (1, 8) = 1/2、f (3, 8) = f (5, 8) = f (7, 8) = 0、f (1, 9) = 5/6、f (2, 9) = f (5, 9) = 0、f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2、f (8, 9) = 1/3。
0 < a 、b < n が整数で、gcd( a 、n ) = gcd( b 、n ) = 1、f ( a 、n ) > f ( b 、n ) の場合、π ( x ; n 、b ) > π ( x ; n 、a ) が頻繁に発生すると推測される。
参考文献 PL チェビシェフ: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 et 4 n + 3、ブル。クラス物理学。アカド。インプ。科学。サンクトペテルブルク 、11 (1853)、208。 Granville, Andrew ; Martin, Greg (2006). "素数レース". Amer. Math. Monthly 113 (1): 1– 33. doi : 10.1080/00029890.2006.11920275 . JSTOR 27641834 . S2CID 3846453 . J. Kaczorowski: 素数の分布について (mod 4)、Analytics 、15 (1995)、159–171。 S. Knapowski、Turan: 比較素数論、I、Acta Math. Acad. Sci. Hung. 13 (1962)、299–314。 Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994). "チェビシェフのバイアス". Experimental Mathematics 3 (3): 173–197 . doi : 10.1080/10586458.1994.10504289 . 
