中心（圏論）

数学の一分野である圏論において、中心（またはソ連系アメリカ人の数学者ウラジミール・ドリンフェルドにちなんでドリンフェルド中心と呼ばれる）は、モノイド、群、または環の中心の概念の異形である。

モノイド圏 の中心は、の対象Aと、が自然に満たす同型 写像からなる対(A,u)を対象とする圏である。${\displaystyle {\mathcal {C}}=({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$${\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle u_{X}:A\otimes X\rightarrow X\otimes A}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle u_{X\otimes Y}=(1\otimes u_{Y})(u_{X}\otimes 1)}$

そして

${\displaystyle u_{I}=1_{A}}$（これは実際には最初の公理の結果である）。^[1]

の(A,u)から( B,v)への矢印は、${\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}}$${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle v_{X}(f\otimes 1_{X})=(1_{X}\otimes f)u_{X}}$。

この中心の定義は、Joyal & Street (1991) に示されています。同様に、中心は次のように定義できます。

${\displaystyle {\mathcal {Z}}({\mathcal {C}})=\mathrm {End} _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({ \数学 {C}}),}$

つまり、テンソル積によって与えられる C 自身に対する 左および右の作用と互換性のあるCのエンドファンクタです。

このカテゴリは、次のように定義されるオブジェクトのテンソル積を持つ 編み込みモノイドカテゴリになります。${\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}}$

${\displaystyle (A,u)\otimes (B,v)=(A\otimes B,w)}$

ここで、明らかな編み込みがあります。 ${\displaystyle w_{X}=(u_{X}\otimes 1)(1\otimes v_{X})}$

圏中心は、高次の圏の文脈で特に有用である。これは次の例で説明できる。可換環RのR加群の（アーベル）圏の中心は、再び次のようになる。モノイド的∞圏Cの中心は、上記と同様に、次のように定義できる 。${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$ ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$

${\displaystyle Z({\mathcal {C}}):=\mathrm {End} _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({\mathcal {C}})}$。

さて、上記とは対照的に、R加群の導来カテゴリ（∞カテゴリと見なされる）の中心は、ホックシルトコホモロジーをエンコードするコチェーン複体上の加群の導来カテゴリによって与えられます。この複体の次数0の項はRですが（上記のアーベル状況のように）、 （導来Hom）などの高次の項も含まれています。 ^[2]${\displaystyle Hom(R,R)}$

この一般性における中心の概念は、Lurie (2017, §5.3.1) によって展開されています。通常のモノイド圏の中心に上記の編み込みを拡張すると、モノイド ∞ 圏の中心は-モノイド圏になります。より一般的には、-モノイド圏の中心は -モノイド圏の代数対象であり、したがって Dunn 加法性により-モノイド圏になります。 ${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle E_{k+1}}$

Hinich (2007) は、オービフォールド X上の層のカテゴリの Drinfeld 中心が、Xの慣性オービフォールド上の層のカテゴリであることを示した。有限群Gの分類空間Xに対して、慣性オービフォールドはスタック商G / Gであり、ここでG は共役によってそれ自身に作用する。この特殊なケースでは、Hinich の結果は、 G表現のカテゴリの中心(ある基底体kに関して) が、 G次数のkベクトル空間、つまり次の形式のオブジェクト からなるカテゴリと同値であるという主張に特化している。

${\displaystyle \bigoplus _{g\in G}V_{g}}$

いくつかのkベクトル空間に対して、 G同変射とともに、G が共役によってそれ自身に作用する。

同様に、Ben-Zvi、Francis、Nadler (2010) は、完全スタックX上の準連接層の導来カテゴリの Drinfeld 中心が、Xのループスタック上の層の導来カテゴリであることを示しました。

モノイドの中心とモノイド圏のドリンフェルド中心は、どちらも次のより一般的な概念の例である。モノイド圏CとC内のモノイド対象 Aが与えられたとき、 Aの中心は次のように定義される 。

${\displaystyle Z(A)=End_{A\otimes A^{op}}(A).}$

C が集合のカテゴリ（通常の直積を持つ）である場合、モノイドオブジェクトは単なるモノイドであり、Z ( A ) はモノイドの中心です。同様に、C がアーベル群のカテゴリである場合、モノイドオブジェクトはリングであり、上記はリングの中心を復元します。最後に、C がカテゴリのカテゴリであり、積がモノイド演算である場合、C内のモノイドオブジェクトはモノイドカテゴリであり、上記はドリンフェルド中心を復元します。

モノイド圏（またはモノイド∞圏）の圏論的トレースは次のように定義される。

${\displaystyle Tr(C):=C\otimes _{C\otimes C^{op}}C.}$

この概念は、例えばZhu (2018) などで広く適用されています。

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