ケイリー・バカラックの定理

数学において、ケイリー・バカラックの定理は、射影平面P ²における三次曲線（3 次平面曲線）に関する定理である。元の形式は次のとおりである。

射影平面上の2つの3次曲線C1とC2_が、一般に代数的に閉じた体上でそうであるように、9つの（異なる）点で交わると仮定します。すると、これらの点のうち8つを通るすべての3次曲線は、9番目の点も通過します。

ケイリー・バカラックの定理のより本質的な形式は次のようになる。

代数的に閉じた体上の任意の三次曲線C は、与えられた 8 つの点P ₁、 ...、P ₈を通過するが、重複度を考慮しても、P ₁、 ...、P ₈のみに依存する9 番目の点P ₉も通過する。

円錐曲線に関する関連結果は、フランスの幾何学者ミシェル・シャールによって最初に証明され、後にアーサー・ケイリーとイサーク・バカラックによって三次曲線に一般化された。^{[ 1 ]}

点P ₁、 ... 、P ₈のうち 7 点が円錐曲線上にある場合、ベズーの定理によりC は常に円錐曲線全体を含むため、9 番目の点もその円錐曲線上に選択できます。その他の場合、次のようになります。

P ₁、 ... 、P ₈のうち 7 つの点が共円錐でない場合、P ₁、 ... 、P _{8 の}(アフィン円錐)上でゼロになる 3 次同次多項式のベクトル空間(重複点については重複度を考慮)の次元は2 になります。

この場合、P ₁、 ...、P _{8を通るすべての三次曲線は、} P ₁、 ...、P ₈を通る任意の 2 つの異なる三次曲線の交点も通過します。ベズーの定理により、この交点には (代数的閉包上で) 少なくとも 9 つの点があります。これらの点はP ₁、 ...、P ₈だけではカバーできないため、 P ₉が得られます。

退化円錐曲線は最大で2つの直線の和集合であるため、退化円錐曲線上の7つの点のうち、常に4つが同一直線上にある。したがって、次のようになる。

P ₁、 ... 、P ₈のうち 7 つの点が非退化円錐上に存在せず、かつP ₁、 ... 、P ₈のうち 4 つの点が直線上に存在しない場合、P ₁、 ... 、P _{8 の}(アフィン円錐) 上でゼロとなる3次同次多項式のベクトル空間の次元は 2である。

一方、P ₁、P ₂、P ₃、P _{4が共線であり、} P ₁、...、P ₈のうち 7 つの点が共円錐でないと仮定します。すると、P ₁、...、P _{8の 5 つの点も、} P ₅、P ₆、P ₇、P ₈の 3 つの点も共線ではありません。ベズーの定理により、 C は常にP ₁、P ₂、P ₃、P ₄を通る直線全体を含むため、(アフィン錐) P ₁、...、P ₈上で消滅する3 次同次多項式のベクトル空間は、 (アフィン錐) P 5 、P ₆、P ₇、P _{8上で消滅する2 次}同次多項式のベクトル空間と同型であり、次元は 2 です。

2次元の結果に対する条件のセットはそれぞれ異なりますが、どちらも完全な一般位置よりも厳密に弱いものです。3点が同一直線上にあることが許容され、6点が円錐曲線上にあることが許容されます（一般に、2点で直線が決定され、5点で円錐曲線が決定されます）。ケイリー・バカラックの定理では、単一の3次曲線ではなく、9点を通る3次曲線の族が存在することが必要です。

ベズーの定理によれば、代数的に閉じた体上の、共通の既約成分を持たない2つの異なる3次曲線は、ちょうど9点（重複度を考慮して数える）で交わる。したがって、ケイリー＝バカラックの定理は、曲線族内の任意の2つの曲線の最後の交点は、8つの交点（7つの円錐曲線を除く）が既に定められている場合、移動しないことを主張する。

パスカルの定理は特殊なケースで、この場合、問題となる 2 つの三次曲線はすべて退化しています。円錐曲線 (六角形) 上の 6 つの点が与えられたとき、対辺を延長して得られる直線を考えます。これにより、それぞれ 3 つの直線からなる 2 つの三次曲線が得られ、これらは 9 つの点で交わります。つまり、円錐曲線上の 6 つの点と、他の 3 つの点です。これらの追加の 3 つの点は直線上にあります。円錐曲線と任意の 2 つの点を通る直線を足すと、8 つの点を通る三次曲線になるからです。

2つ目の応用例は、上記と同様であるパップスの六角形の定理ですが、6つの点が円錐曲線上ではなく、2本の直線上にある点です。

最後に、楕円曲線の群法則の結合法則を証明するための3つ目のケースが見つかりました。次の直線を含む2つの3次曲線を考えてみましょう。 $${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{立方体 1:}}&bc,&o(a+b),&a(b+c)\\[4pt]{\text{立方体 2:}}&ab,&o(b+c),&c(a+b)\end{array}}}$$ 以下の8つの点は、両方の3次曲線に共通する点です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&o,\ a,\ b,\ c,\\&a+b,\ -(a+b),\\&b+c,\ -(b+c).\end{aligned}}}$$ したがって、彼らの第 9 項は同じでなければならない。つまり、 $${\displaystyle -a-(b+c)=-(a+b)-c,}$$ 結合性を与える。

ケイリー・バカラックの定理、そしてそれが次数3でなぜ生じるのかは、次元数え上げによって理解できる。簡単に言えば、9つの点が1つの立方体を決定するが、一般には一意の立方体を定義する。したがって、9つの点が複数の立方体上にある場合、あるいは2つの立方体の交点上にある場合（3 × 3 = 9のように）、それらは一般の位置にはない（1次元過剰決定されている）ため、それらを通過する立方体は「8ならば9」という性質に反映されるように、1つの追加制約を満たす。この一般的な現象は過剰存在と呼ばれ、曲面に関するリーマン・ロッホの定理を参照されたい。

• 除数の線形システム