カタランの推測

カタランの予想（カタランのじゅうてき、Mihăilescuの定理）は、1844年に数学者ウジェーヌ・シャルル・カタランによって予想され、2002年にパダーボルン大学のプレダ・ミハイレスクによって証明された整数論の定理である。[1] [2] 整数 2 3と3 2は、それぞれ 8と9の^値^が連続する^自然数^の2つの完全累乗（つまり、指数が1より大きい累乗）である。この定理は、これが2つの連続する完全累乗の唯一のケースであることを述べている。つまり、

カタランの予想 — 自然数の唯一の解

x^{a}-y^{b}=1

$a 、 b > 1$ 、 $x 、 y > 0$ の場合、 $x = 3$ 、 $a = 2$ 、 $y = 2$ 、 $b = 3$ となります。

歴史

この問題の歴史は少なくともゲルソニデスまで遡る。ゲルソニデスは1343年に、( x , y )が(2,3)または(3,2)に制限されるという予想の特別なケースを証明した。カタランの予想後の最初の重要な進歩は、1850年にヴィクトル＝アメデ・ルベーグがb = 2の場合を扱ったときに起こった。 ^[3]

1976年、ロバート・ティデマンはベイカーの超越理論の方法を応用してa、bの境界を確立し、 x、yをa、bに関して境界とする既存の結果を使用してx、y、a、bの有効な上限を与えました。ミシェル・ランジュバンは境界の値を計算し、 ^[4]有限個の場合を除いてカタランの予想を解決しました。 $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$

カタランの予想は2002年4月にプレダ・ミハイレスクによって証明された。証明は2004年のJournal für die reine und angewandte Mathematikに掲載された。証明には円分体とガロア加群の理論が広く使われている。証明の説明はユーリ・ビルによってSéminaire Bourbakiで行われた。^[5] 2005年にミハイレスクは簡略化した証明を発表した。^[6]

ピライの推測

数学における未解決の問題:

各正の整数は、完全累乗の差として有限回だけ出現しますか?

（数学における未解決の問題がさらに増える）

ピライの予想は、一般的な完全冪の差（OEISのシーケンスA001597）に関するものです。これは、 SS ピライによって最初に提案された未解決の問題であり、彼は完全冪のシーケンスのギャップが無限大に近づくと予想しました。これは、各正の整数が完全冪の差として有限回しか出現しないと言うことと同等です。より一般的には、1931 年にピライは、正の整数A、B、Cを固定した場合、方程式には( m、 n ) ≠ (2, 2) となる有限個の解 ( x、 y、 m、 n )しかないと予想しました。ピライは、 A、B、x、yを固定し、 λ が 1 未満の場合は、mとnについて一様^に $Ax^{n}-By^{m}=C$ $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$

一般的な予想はABC予想から導かれる。^[7]^[8]

ピライの予想は、あらゆる自然数nに対して、差がnである完全累乗のペアは有限個しか存在しないということを意味します。以下のリストは、n ≤ 64 について、両方の累乗の指数が 1 より大きい、10 ^{18未満の完全累乗のすべての解を示しています。各}nに対するそのような解の数は、OEIS : A076427にリストされています。最小の解 (> 0) については、 OEIS : A103953も参照してください。

参照

注記

^ Weisstein, Eric W.、カタランの予想、MathWorld
^ ミハイレスク 2004
^ Victor-Amédée Lebesgue (1850)、「Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1」、Nouvelles annales de mathématiques、1 ^re série、9 : 178–181
^ リベンボイム、パウロ（1979）、フェルマーの最終定理に関する13の講義、シュプリンガー・フェアラーク、p. 236、ISBN 0-387-90432-8、ZBL 0456.10006
^ Bilu、Yuri (2004)、「カタルーニャ予想」、Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923、Asterisque、vol. 294、1–26ページ
^ ミハイレスク 2005
^ ab Narkiewicz, Wladyslaw (2011)、「20世紀の有理数論：PNTからFLTへ」、Springer Monographs in Mathematics、Springer-Verlag、pp. 253–254、ISBN 978-0-857-29531-6
^ Schmidt, Wolfgang M. (1996)、「ディオファントス近似とディオファントス方程式」、数学講義ノート、第1467巻（第2版）、Springer-Verlag、p. 207、ISBN 3-540-54058-X、ZBL 0754.11020

参考文献

Bilu、Yuri (2004)、「カタルーニャ語の予想 (ミハイレスク後)」、Asterisque、294 : vii、1–26、MR 2111637
カタロニア語、ユージーン (1844)、「Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur」、J. Reine Angew。数学。 (フランス語)、27 : 192、doi :10.1515/crll.1844.27.192、MR 1578392
コーエン、ヘンリ (2005)。Démonstration de la conjecture de Catalan [カタルーニャ予想の証明]。 Théorie アルゴリズミックデノンブルとエクアシオンディオファンティエンヌ (フランス語)。パレゾー: エコール・ポリテクニック校。 1 ～ 83 ページ。ISBN 2-7302-1293-0MR 0222434 。
Metsänkylä, Tauno (2004)、「カタランの予想: もう一つの古いディオファントス問題の解決」(PDF)、アメリカ数学会誌、41 (1): 43–57、doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5、MR 2015449
ミハイレスク、プレダ(2004)、「プライマリ円分単位とカタランの予想の証明」、J. レインアンジュー数学、2004 (572): 167–195、doi :10.1515/crll.2004.048、MR 2076124
Mihăilescu, Preda (2005)、「反射、ベルヌーイ数、およびカタランの予想の証明」(PDF)、ヨーロッパ数学会議、チューリッヒ: Eur. Math. Soc.: 325–340、MR 2185753、2022-06-26にオリジナル(PDF)からアーカイブ
リベンボイム、パウロ（1994）、カタランの予想、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、Inc.、ISBN 0-12-587170-8、MR 1259738 ミハイレスクの証明より古い。
ティデマン、ロバート(1976)、「カタロニア語の等式について」(PDF)、Acta Arith.、29 (2): 197–209、doi : 10.4064/aa-29-2-197-209、MR 0404137

外部リンク

Weisstein, Eric W.「カタランの予想」。MathWorld。
アイヴァース・ピーターソンの MathTrek
完全な力の違いについて
ジャニーン・デームス: カタラン予想の円分的証明

[1] Weisstein, Eric W.、カタランの予想、MathWorld

[2] ミハイレスク 2004

[3] Victor-Amédée Lebesgue (1850)、「Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1」、Nouvelles annales de mathématiques、1 ^re série、9 : 178–181

[4] リベンボイム、パウロ（1979）、フェルマーの最終定理に関する13の講義、シュプリンガー・フェアラーク、p. 236、ISBN 0-387-90432-8、ZBL 0456.10006

[5] Bilu、Yuri (2004)、「カタルーニャ予想」、Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923、Asterisque、vol. 294、1–26ページ

[6] ミハイレスク 2005

[rnt-7] Narkiewicz, Wladyslaw (2011)、「20世紀の有理数論：PNTからFLTへ」、Springer Monographs in Mathematics、Springer-Verlag、pp. 253–254、ISBN 978-0-857-29531-6

[8] Schmidt, Wolfgang M. (1996)、「ディオファントス近似とディオファントス方程式」、数学講義ノート、第1467巻（第2版）、Springer-Verlag、p. 207、ISBN 3-540-54058-X、ZBL 0754.11020