カルノーの定理（熱力学）

カルノーの定理（カルノーの法則、カルノーの規則とも呼ばれる）は、1824年にニコラ・レオナール・サディ・カルノーによって開発された熱力学の原理であり、あらゆる熱機関が達成できる最大効率の限界を規定するものである。

カルノーの定理によれば、同じ2つの熱源または熱貯蔵器の間で動作するすべての熱機関の効率は、同じ熱源の間で動作する可逆熱機関の効率を超えることはできない。この定理の系として、一対の熱源の間で動作するすべての可逆熱機関は、使用される作動物質や動作の詳細に関係なく、同じ効率を持つ。カルノー熱機関も可逆機関であるため、すべての可逆熱機関の効率は、高温熱源と低温熱源の温度のみに依存するカルノー熱機関の効率として決定される。

高温熱源と低温熱源の間で動作する熱機関の最大効率（すなわちカルノー熱機関効率）は、それぞれHとCで表され、熱源間の温度差と高温熱源の温度の比で、次の式で表されます。

${\displaystyle \eta _{\text{max}}={\frac {T_{\mathrm {H} }-T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}},}$

どこで${\displaystyle T_{\mathrm {H} }}$そして​​${\displaystyle T_{\mathrm {C} }}$⁠はそれぞれ高温および低温熱源の絶対温度であり、効率は${\displaystyle \eta }$⁠は、エンジンが（周囲に対して）行う仕事と、高温熱源から（エンジンに対して）引き出される熱量の比率です

⁠$\displaystyle \eta _{\text{max}}}$⁠ は、2つの熱源間に温度差がある場合に限り、ゼロより大きい。なぜなら、$\displaystyle \eta _{\text{max}}}$⁠は すべての可逆および不可逆熱機関の効率の上限であるため、熱機関から仕事を生み出すことができるのは、機関に接続されている2つの熱源の間に温度差がある場合のみであると結論付けられます。

カルノーの定理は熱力学第二法則の結果である。歴史的には、それは当時の熱量理論に基づいており、第二法則の確立に先立っていた。^{[ 1 ]}

カルノーの定理の証明は、右図のような、効率の異なる2つの熱機関が異なる温度の2つの熱源の間で動作している状況に基づいた背理法による証明です。相対的に温度の高い熱源を高温熱源、もう一方の熱源を低温熱源と呼びます。（必ずしも可逆ではない）熱機関${\displaystyle M}$より高い効率で$\displaystyle \eta _{_{M}}}$可逆熱機関を駆動している${\displaystyle L}$効率は低い$\displaystyle \eta _{_{L}}}$後者がヒートポンプとして機能するようにする。エンジンの要件${\displaystyle L}$仕事を説明するには可逆性が必要である${\displaystyle W}$そして熱${\displaystyle Q}$既知の効率性を利用して関連付けられている。しかし、${\displaystyle \eta _{_{M}}>\eta _{_{L}}}$正味の熱流は逆方向、つまり高温熱源への流れとなる。

${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{_{M}}}{\eta _{_{L}}}}Q=Q_{\text{h}}^{\text{in}},}$

どこ${\displaystyle Q}$熱を表す、${\displaystyle {\text{in}}}$オブジェクトへの入力を表します。${\displaystyle {\text{out}}}$オブジェクトからの出力の場合、${\displaystyle h}$高温の熱源の場合。${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$熱い貯水槽から流れ出る場合は+の符号を持ち、${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$熱源から流れ出る場合、符号は - になります。この式は、熱機関の効率の定義を使用することで簡単に導き出すことができます。$\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$ここで、この式における仕事と熱はエンジンサイクルあたりの正味量であり、各エンジンのエネルギー保存則は以下に示すとおりである。仕事の符号規約${\displaystyle W}$エンジンが周囲に対して行う仕事を表す記号として、+ が用いられる。

上記の式は、エンジンペア（単一のエンジンとみなすことができる）から高温熱源への熱流入量が、高温熱源からエンジンペアへの熱流入量よりも大きい（つまり、高温熱源は継続的にエネルギーを受け取る）ことを意味します。効率の低い可逆熱機関は、ヒートポンプとして駆動されている場合、この機関に与えられた仕事量（エネルギー）に対して、より多くの熱（エネルギー）を高温熱源に供給します。これらすべては、外部からの仕事なしに熱が低温から高温へ移動できることを意味し、このような熱伝達は熱力学第二法則によって不可能です。

• 効率の低い仮想的な可逆ヒートポンプが熱力学第二法則に違反するために使われるのは奇妙に思えるかもしれないが、冷蔵庫ユニットの性能指数は効率ではなく、${\displaystyle W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$しかし、成績係数（COP）^{[ 2 ]}は${\displaystyle Q_{\text{c}}^{\text{out}}/W}$この場所${\displaystyle W}$上記とは反対の符号を持つ（エンジンに対して行われた作業に対しては+）。

仕事の価値を見つけよう${\displaystyle W}$そして熱${\displaystyle Q}$右図に可逆熱機関が示されている${\displaystyle L}$効率は低い$\displaystyle \eta _{_{L}}}$熱機関によってヒートポンプとして駆動される${\displaystyle M}$より効率的に$\displaystyle \eta _{_{M}}}$。

効率の定義は${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$各エンジンについて、以下の式を導き出すことができます。

${\displaystyle \eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},}$

${\displaystyle \eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}}}={\frac {-\eta _{M}Q}{-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.}$

2番目の式の分母は、${\displaystyle Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}=-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}$は、表現の一貫性を保つために作られており、エンジンの仕事と熱の値を埋めるのに役立ちます。${\displaystyle L}$。

各エンジンについて、エンジンに入るエネルギーの絶対値は、${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{in}}}$は、エンジンから放出されるエネルギーの絶対値と等しくなければならない。${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{out}}}$そうでなければ、エンジンにエネルギーが継続的に蓄積されるか、エンジンから取り出すエネルギーがエンジンへの入力エネルギーよりも多いため、エネルギー保存の法則が破られることになる。

${\displaystyle E_{\text{M,abs}}^{\text{in}}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{M,abs}}^{\text{out}},}$

${\displaystyle E_{\text{L,abs}}^{\text{in}}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{L,abs}}^{\text{out}}.}$

2番目の表現では、$${\textstyle \left|Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}\right|=\left|-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q\right|}$$用語を見つけるために使用されます$\textstyle \eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)}$右図において、低温熱源から奪われた熱量を表し、仕事と熱の絶対値表現を完成させなさい。

正しい数値が正しいことが確認できたので、以下に示すように、不可逆および可逆熱機関に対してカルノーの定理を証明することができる。^{[ 3 ]}

熱機関の効率は、機関が行う仕事量を機関に導入される熱量で割った値である。

どこ${\displaystyle w_{\text{cy}}}$エンジンが行う仕事は、${\displaystyle q_{C}}$エンジンから冷熱貯蔵槽への熱であり、${\displaystyle q_{H}}$は、1サイクルあたり高温熱源からエンジンに供給される熱量です。したがって、効率は のみに依存します。${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}}$[ ^{6 ]​}

温度間で動作するすべての可逆熱機関は${\displaystyle T_{1}}$そして${\displaystyle T_{2}}$同じ効率を持つ必要がある。可逆熱機関の効率は、2つの熱源温度のみの関数である。

さらに、温度間で動作する可逆熱機関${\displaystyle T_{1}}$そして${\displaystyle T_{3}}$2 つのサイクルから構成されるものと同じ効率を持つ必要がある。${\displaystyle T_{1}}$そしてもう1つの（中間）温度${\displaystyle T_{2}}$、そして2番目は${\displaystyle T_{2}}$そして${\displaystyle T_{3}}$（${\displaystyle T_{1}<T_{2}<T_{3}}$これは、

特定のケースに特化して${\displaystyle T_{1}}$は固定基準温度であり、水の三重点温度である273.16です。（もちろん、任意の基準温度と任意の正の数値を使用できます。ここでの選択はケルビン目盛に対応します。）すると、任意の${\displaystyle T_{2}}$そして${\displaystyle T_{3}}$、

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.}$

したがって、熱力学的温度が次のように定義される場合

${\displaystyle T'=273.16\cdot f(T_{1},T),}$

すると、熱力学的温度の関数として見た関数は次のようになる。

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}'}{T_{2}'}}.}$

直ちに次のことが導かれる。

この式を上記の式に代入すると${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}$熱力学的温度の観点から効率の関係式を示す。

燃料電池は、システムのすべてのコンポーネントが同じ温度にあるときに有用な電力を生成できるため（${\displaystyle T=T_{H}=T_{C}}$) それらは明らかにカルノーの定理によって制限されない。カルノーの定理は、 の場合、電力は発生しない、と述べている。${\displaystyle T_{H}=T_{C}}$これは、カルノーの定理が熱エネルギーを仕事に変換するエンジンに適用されるのに対し、燃料電池は化学エネルギーを仕事に変換するからである。^{[ 7 ]}それにもかかわらず、熱力学第二法則は燃料電池のエネルギー変換に制約を与える。^{[ 8 ]}

カルノー電池は、熱エネルギー貯蔵に電気を蓄え、熱力学サイクルを通じて蓄えられた熱を再び電気に変換するタイプのエネルギー貯蔵システムです。 ^{[ 9 ]}

• チャンバダル・ノビコフ効率
• 暖房および冷房効率の限界