巡回冗長検査

巡回冗長検査( CRC ) は、デジタルネットワークやストレージデバイスでデジタルデータの偶発的な変更を検出するために一般的に使用されるエラー検出コードです。 ^[1]^{[2]これらのシステムに入力されるデータブロックには、その内容の}多項式除算の剰余に基づいて短いチェック値が添付されます。取得時に計算が繰り返され、チェック値が一致しない場合は、データ破損に対する修正措置が講じられます。CRC はエラー訂正に使用できます(ビットフィルターを参照)。^[3]

CRC は、チェック(データ検証) 値が冗長(情報を追加せずにメッセージを拡張) であり、アルゴリズムが巡回コードに基づいていることから、このように呼ばれています。CRC は、バイナリハードウェアでの実装が簡単で、数学的に分析しやすく、伝送チャネルのノイズによって発生する一般的なエラーの検出に特に適しているため、人気があります。チェック値は固定長であるため、それを生成する関数はハッシュ関数として使用されることがあります。

導入

CRC は巡回誤り訂正符号の理論に基づいています。通信ネットワークでの誤り検出を目的として、固定長のチェック値を追加することでメッセージをエンコードする体系的な巡回符号の使用は、 1961 年にW. Wesley Petersonによって初めて提案されました。 ^{[4]巡回符号は実装が簡単なだけでなく、}バーストエラー(メッセージ内の誤ったデータシンボルの連続シーケンス) の検出に特に適しているという利点があります。バーストエラーは、磁気および光ストレージデバイスを含む多くの通信チャネルで一般的な伝送エラーであるため、これは重要です。通常、任意の長さのデータブロックに適用されたnビットの CRC は、 nビットを超えない単一のエラーバーストを検出し、検出されるすべてのより長いエラーバーストの割合は、約(1 − 2 ^{− n} )です。

CRC コードの仕様には、いわゆる生成多項式の定義が必要です。この多項式は、メッセージを被除数として受け取り、商が破棄されて剰余が結果となる多項式長除算の除数になります。重要な注意点は、多項式係数は有限体の算術に従って計算されるため、加算演算は常にビット単位で並列に実行できることです (桁間の繰り上がりはありません)。

実際には、一般的に使用されるすべての CRC は、2 つの要素の有限体GF(2)を使用します。2 つの要素は通常 0 と 1 と呼ばれ、コンピュータアーキテクチャに適合しています。

CRC は、チェック値がnビット長の場合、 nビット CRC と呼ばれます。 nが与えられた場合、それぞれが異なる多項式を持つ複数の CRC が可能です。このような多項式の最高次数はnで、これはn + 1項を持つことを意味します。言い換えると、多項式の長さはn + 1で、エンコードにはn + 1ビットが必要です。ほとんどの多項式仕様では、MSbまたはLSb は常に 1 であるため、どちらかが省略されることに注意してください。CRC と関連する多項式には、通常、次の表に示すように、 CRC- n -XXXという形式の名前が付けられます。

最も単純なエラー検出システムであるパリティビットは、実際には1ビットのCRCです。これは生成多項式 x + 1（2つの項）を使用し、^[5] CRC-1という名前が付けられています。

応用

CRC 対応デバイスは、送信または保存される各データブロックに対して、チェック値またはCRCと呼ばれる短い固定長のバイナリシーケンスを計算し、それをデータに追加してコードワードを形成します。

コードワードが受信または読み取られると、デバイスはそのチェック値をデータブロックから新たに計算された値と比較するか、または同等に、コードワード全体に対して CRC を実行し、結果のチェック値を予想される剰余定数と比較します。

CRC 値が一致しない場合は、ブロックにデータエラーが含まれます。

デバイスは、ブロックの再読み込みや再送信の要求などの修正アクションを実行する場合があります。それ以外の場合、データはエラーがないとみなされます（ただし、わずかな確率で、検出されていないエラーが含まれている可能性があります。これはエラーチェックの性質上当然のことです）。^[6]

データの整合性

CRC は、通信チャネル上の一般的なエラーから保護するために特別に設計されており、配信されるメッセージの整合性を迅速かつ合理的に保証できます。ただし、データの意図的な変更から保護するには適していません。

まず、認証がないため、攻撃者はメッセージを編集し、CRC を再計算しても置換が検出されません。CRC と暗号化ハッシュ関数は、データと一緒に保存されると、それ自体では意図的なデータ変更から保護されません。このような攻撃に対する保護を必要とするアプリケーションは、メッセージ認証コードやデジタル署名(通常は暗号化ハッシュ関数に基づく)などの暗号化認証メカニズムを使用する必要があります。

第二に、暗号ハッシュ関数とは異なり、CRCは簡単に元に戻せる関数であるため、デジタル署名に使用するには適していません。^[7]

第三に、CRCは線形関数（より正確にはアフィン関数）と同様の関係を満たす：^[8]

\operatorname {CRC} (x\oplus y)=\operatorname {CRC} (x)\oplus \operatorname {CRC} (y)\oplus c

ここで、はおよびの長さに依存します。これは、、およびが同じ長さであるとして次のようにも言えます。 $c$ $x$ $y$ $x$ $y$ $z$

\operatorname {CRC} (x\oplus y\oplus z)=\operatorname {CRC} (x)\oplus \operatorname {CRC} (y)\oplus \operatorname {CRC} (z);

その結果、CRCがXORを結合演算として使用するストリーム暗号（またはOFBやCFBなどのブロック暗号を効果的にストリーム暗号に変換するモード）で暗号化されたとしても、メッセージと関連するCRCの両方を暗号化キーを知らなくても操作することができます。これは、 Wired Equivalent Privacy （WEP）プロトコルのよく知られた設計上の欠陥の1つでした。^[9]

計算

nビットのバイナリ CRC を計算するには、入力を表すビットを 1 行に並べ、CRC の除数 (「多項式」と呼ばれる) を表す ( n + 1 ) ビットパターンを行の左端の下に配置します。

この例では、14 ビットのメッセージを 3 ビット CRC でエンコードします。多項式はx ³ + x + 1です。多項式は係数としてバイナリで記述されます。3 次多項式には 4 つの係数 ( 1 x ³ + 0 x ² + 1 x + 1 ) があります。この場合、係数は 1、0、1、1 です。計算結果は 3 ビット長であるため、3 ビット CRC と呼ばれます。ただし、多項式を明示的に示すには 4 ビットが必要です。

エンコードするメッセージから始めます:

11010011101100

まず、CRC のビット長nに対応するゼロが埋め込まれます。これは、結果のコードワードが体系的な形式になるように行われます。3 ビット CRC を計算するための最初の計算は次のとおりです。

11010011101100 000 <--- 入力右側に3ビット追加
1011 <--- 除数（4ビット） = x³ + x + 1
------------------
01100011101100 000 <--- 結果

アルゴリズムは、各ステップで除数のすぐ上のビットに作用します。その反復の結果は、多項式除数とその上のビットのビット単位の XOR です。除数より上ではないビットは、そのステップで単にすぐ下にコピーされます。次に、除数は入力の残りの最上位 1 ビットに揃うように右にシフトされ、除数が入力行の右端に達するまでこのプロセスが繰り返されます。計算全体は次のとおりです。

11010011101100 000 <--- 入力右側に3ビット追加
1011 <--- 除数
01100011101100 000 <--- 結果 (最初の 4 ビットは下の除数との XOR であり、残りのビットは変更されないことに注意してください)
 1011 <--- 除数 ...
00111011101100 000
  1011
00010111101100 000
   1011
00000001101100 000 <--- 除数が被除数の次の 1 と一致するように移動することに注意してください (そのステップの商は 0 だったため)
       1011 (言い換えれば、反復ごとに必ずしも 1 ビット移動するわけではありません)
00000000110100 000
        1011
00000000011000 000
         1011
00000000001110 000
          1011
00000000000101 000
           101 1
-----------------
00000000000000 100 <--- 余り (3 ビット)。被除数がゼロなので、除算アルゴリズムはここで停止します。

左端の除数ビットは、それが触れるすべての入力ビットをゼロにするため、このプロセスが終了すると、入力行で非ゼロになる可能性があるビットは、行の右端の n ビットのみになります。これらのnビットは除算ステップの余りであり、CRC 関数の値にもなります (選択した CRC 仕様で後処理が要求されない限り)。

受信したメッセージの有効性は、上記の計算を再度実行することで簡単に検証できます。ただし、今回はゼロの代わりにチェック値を追加します。検出可能なエラーがない場合、剰余はゼロになります。

11010011101100 100 <--- チェック値付き入力
1011 <--- 除数
01100011101100 100 <--- 結果
 1011 <--- 除数 ...
00111011101100 100

......

00000000001110 100
          1011
00000000000101 100
           101 1
------------------
000000000000000 000 <--- 残り

次のPythonコードは、選択された入力と多項式の初期 CRC 剰余を返す関数の概要を示しています。初期パディングは 1 または 0 です。このコードは生の数値ではなく文字列入力で機能することに注意してください。

def  crc_remainder ( input_bitstring ,  polynomial_bitstring ,  initial_filler ): 
"""選択した多項式を使用して、ビット文字列の CRC 剰余を計算します。initial_filler    は '1' または '0' にする必要があります。    """ polynomial_bitstring = polynomial_bitstring . lstrip ( '0' ) len_input = len ( input_bitstring ) initial_padding = ( len ( polynomial_bitstring ) - 1 ) * initial_filler input_padded_array = list ( input_bitstring + initial_padding ) while '1' in input_padded_array [: len_input ]: cur_shift = input_padded_array .範囲( len ( polynomial_bitstring ))内のiのインデックス( '1' ) : input_padded_array [ cur_shift + i ] \
             = str ( int ( polynomial_bitstring [ i ] != input_padded_array [ cur_shift + i ])) ''を返します。join ( input_padded_array ) [ len_input :]    


      
      
          
        
       
          
           
                   
     

def  crc_check ( input_bitstring ,  polynomial_bitstring ,  check_value ): 
"""選択した多項式を使用して、ビット文字列の CRC チェックを計算します。""" polynomial_bitstring = polynomial_bitstring . lstrip ( '0' ) len_input = len ( input_bitstring ) initial_padding = check_value input_padded_array = list ( input_bitstring + initial_padding ) while '1' in input_padded_array [: len_input ]: cur_shift = input_padded_array .範囲( len ( polynomial_bitstring ))内のiのインデックス( '1' ) : input_padded_array [ cur_shift + i ] \
             = str ( int ( polynomial_bitstring [ i ] != input_padded_array [ cur_shift + i ]))戻り値( '1' は''に含まれません。join ( input_padded_array )[ len_input : ])

>>> crc_remainder ( '11010011101100' ,  '1011' ,  '0' ) 
'100' 
>>> crc_check ( '11010011101100' ,  '1011' ,  '100' )
真

数学

この除算のようなプロセスを数学的に分析すると、エラー検出特性を保証する除数を選択する方法が明らかになります。この分析では、ビット列の数字は、より一般的な数値ではなく、有限体GF(2)の要素である変数xの多項式の係数(2 を法とする整数、つまり 0 または 1) として扱われます。2 進多項式の集合は数学的な環です。

多項式の設計

生成多項式の選択は、CRC アルゴリズムを実装する上で最も重要な部分です。多項式は、全体的な衝突確率を最小限に抑えながら、エラー検出機能を最大化するように選択する必要があります。

多項式の最も重要な属性は長さ（多項式内の任意の項の最大次数（指数）+1）です。これは、計算されたチェック値の長さに直接影響するためです。

最も一般的に使用される多項式の長さは9ビット（CRC-8）、17ビット（CRC-16）、33ビット（CRC-32）、および65ビット（CRC-64）である。^[5]

CRC は、チェック値がnビットの場合、 nビット CRC と呼ばれます。 nが与えられた場合、それぞれが異なる多項式を持つ複数の CRC が可能です。このような多項式の最高次数はnであるため、項数はn + 1です(多項式の長さはn + 1です)。剰余の長さはnです。CRC の名前は、CRC- n -XXX の形式です。

CRC多項式の設計は、保護するブロックの最大合計長（データ+ CRCビット）、必要なエラー保護機能、CRCを実装するためのリソースの種類、および必要なパフォーマンスによって異なります。よくある誤解は、「最良の」CRC多項式は、既約多項式または既約多項式に係数 1 + xを掛けたものから導き出されるというもので、これにより、奇数ビットに影響するすべてのエラーを検出する機能がコードに追加されます。^{[10]実際には、上記のすべての要因が多項式の選択に影響し、既約多項式につながる可能性があります。ただし、既約多項式を選択すると、商環に}ゼロの約数があるため、一定の割合でエラーが見逃されることになります。

CRC コードの生成元として原始多項式を選択する利点は、結果として得られるコードが最大合計ブロック長を持つこと、つまりそのブロック長内のすべての 1 ビットエラーが異なる剰余 (シンドロームとも呼ばれる) を持つことであり、剰余はブロックの線形関数であるため、コードはそのブロック長内のすべての 2 ビットエラーを検出できることです。が原始生成多項式の次数である場合、最大合計ブロック長はであり、関連付けられているコードは任意の 1 ビットエラーまたは 2 ビットエラーを検出できます。^[11]この状況を改善できます。が次数の原始多項式である生成多項式を使用すると、最大合計ブロック長はであり、コードは 1 つ、2 つ、3 つ、および任意の奇数のエラーを検出できます。 $r$ $2^{r}-1$ $g(x)=p(x)(1+x)$ $p$ $r-1$ $2^{r-1}-1$

最大合計ブロック長と望ましいエラー検出能力とのバランスをとるために、他の因数分解を許容する多項式を選択できます。BCHコードは、このような多項式の強力なクラスです。BCH コードは、上記の 2 つの例を包含します。次数rの生成多項式の簡約性特性に関係なく、"+1" 項が含まれている場合、コードはr 個の連続ビットのウィンドウに限定されたエラーパターンを検出できます。これらのパターンは "エラーバースト" と呼ばれます。 $g(x)$

仕様

エラー検出コードとしての CRC の概念は、実装者または標準化委員会が実際のシステムを設計するためにそれを使用する場合、複雑になります。次に、その複雑さの一部を示します。

実装によっては、チェックするビットストリームに固定ビットパターンをプレフィックスとして付けることがあります。これは、クロッキングエラーによってメッセージの前に 0 ビットが挿入される可能性があり、この変更によってチェック値が変更されない場合に便利です。
通常、実装では、多項式除算が行われる前に、チェック対象のビットストリームにn 個の0 ビット( nは CRC のサイズ)を追加します(ただし、常にそうとは限りません)。このような追加は、 「CRC の計算」の記事で明示的に示されています。この方法には、チェック値が追加された元のビットストリームの余りがちょうど 0 になるという利便性があるため、受信したビットストリームに対して多項式除算を実行し、余りを 0 と比較するだけで CRC をチェックできます。排他的論理和演算の結合性と可換性により、実際のテーブル駆動型実装では、メッセージビットストリームと CRC レジスタからシフトアウトされるストリームを組み合わせる同等の^[10]より高速なアルゴリズムを使用することで、明示的に 0 を追加せずに、数値的にゼロ追加と同等の結果を得ることができます。
場合によっては、実装によって、多項式除算の剰余に固定ビットパターンを排他的論理和で演算します。
ビット順序:一部の方式では、各バイトの下位ビットを「最初」と見なします。これは、多項式除算中に「左端」を意味し、これは「下位」の一般的な理解とは相反します。この規則は、シリアルポート送信がハードウェアで CRC チェックされる場合に意味を持ちます。これは、広く普及しているシリアルポート送信規則の一部が、バイトを最下位ビットから最初に送信するためです。
バイト順序: マルチバイト CRC では、最初に送信されるバイト (またはメモリの最下位アドレスバイトに格納されるバイト) が最下位バイト (LSB) なのか最上位バイト (MSB) なのかが不明になる場合があります。たとえば、一部の 16 ビット CRC 方式では、チェック値のバイトが入れ替わります。
除数多項式の上位ビットの省略: 上位ビットは常に 1 であり、nビット CRC はnビットレジスタをオーバーフローする( n + 1 ) ビットの除数によって定義される必要があるため、除数の上位ビットについて言及する必要はないと考える作成者もいます。
除数多項式の下位ビットの省略: 下位ビットは常に 1 なので、Philip Koopman などの著者は、上位ビットはそのままで下位ビット (または 1 項) を省略して多項式を表します。この規則により、多項式とその次数が 1 つの整数にエンコードされます。 $x^{0}$

これらの複雑さにより、多項式を整数として表現する一般的な方法は 3 つあります。最初の 2 つはバイナリで鏡像となり、コード内の定数です。3 つ目は Koopman の論文にある数値です。 いずれの場合も、1 つの項が省略されます。したがって、多項式は次のように書き直すことができます。 $x^{4}+x+1$

0x3 = 0b0011、（MSBファーストコード）を表す $x^{4}+(0x^{3}+0x^{2}+1x^{1}+1x^{0})$
0xC = 0b1100、（LSBファーストコード）を表す $(1x^{0}+1x^{1}+0x^{2}+0x^{3})+x^{4}$
0x9 = 0b1001、（クープマン表記）を表す $(1x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+1x^{1})+x^{0}$

以下の表では以下のように示されています:

難読化

独自プロトコルのCRCは、非自明な初期値と最終的なXORを使用することで難読化される可能性がありますが、これらの手法はアルゴリズムに暗号強度を追加するものではなく、簡単な方法でリバースエンジニアリングすることができます。 ^[12]

標準と一般的な使用

多種多様な巡回冗長検査が技術標準に組み込まれている。1つのアルゴリズム、または各次数のアルゴリズムがあらゆる目的に適しているわけではない。KoopmanとChakravartyは、アプリケーションの要件と予想されるメッセージ長の分布に応じて多項式を選択することを推奨している。^[13]使用されている異なるCRCの数は開発者を混乱させており、著者はこの状況に対処しようとしてきた。^{[10] CRC-12には3つの多項式が報告されており、}^[13] CRC-16には22の矛盾する定義があり、CRC-32には7つの多項式がある。 ^[14]

一般的に適用される多項式は、最も効率的なものではありません。1993 年以来、Koopman、Castagnoli らは 3 ビットから 64 ビットのサイズの多項式空間を調査し、^[13]^[15]^[16]^[17]以前のプロトコルの多項式よりもはるかに優れたパフォーマンス (特定のメッセージサイズに対するハミング距離の観点から) を持つ例を見つけ、将来の標準のエラー検出能力を向上させる目的でその中から最良の例を公開しました。^[16]特に、iSCSIとSCTP は、この研究の成果の 1 つである CRC-32C (Castagnoli) 多項式を採用しました。

標準化団体で最も一般的に使用されている32ビット多項式であるCRC-32-IEEEの設計は、ジョージア工科大学のジョセフ・ハモンド、ジェームズ・ブラウン、シャイアン・シアン・リウとマイター社のケネス・ブレイヤーによるローマ研究所と空軍電子システム部門の共同作業の結果でした。32ビット多項式が最も古く登場したのは、1975年の出版物です。マイター向けのブレイヤーによる技術レポート2956は1月に発行され、8月にDTICを通じて一般に公開されました^[18]、およびローマ研究所向けのハモンド、ブラウン、リウのレポートは5月に発行されました^[19] 。両方のレポートには、他のチームからの貢献が含まれていました。 1975 年 12 月、Brayer と Hammond は IEEE National Telecommunications Conference で論文を発表し、IEEE CRC-32 多項式はハミングコードの生成多項式であり、そのエラー検出性能のために選択されたと述べました。^[20] それでも、iSCSI や SCTP で使用されている Castagnoli CRC-32C 多項式は、58 ビットから 131 kbits のメッセージでその性能に匹敵し、インターネットパケットの最も一般的な 2 つのサイズを含むいくつかのサイズ範囲でそれを上回ります。^[16] ITU -T G.hn標準でも、ペイロードのエラーを検出するために CRC-32C を使用します (ただし、 PHY ヘッダーには CRC-16-CCITT を使用します)。

CRC-32C 計算は、 IntelプロセッサのNehalemマイクロアーキテクチャで初めて導入されたSSE4.2CRC32命令セットの操作 ( ) としてハードウェアに実装されています。ARM AArch64アーキテクチャは、CRC-32 と CRC-32C の両方の操作にハードウェアアクセラレーションも提供します。

多項式表現

以下の表には、使用されているさまざまなアルゴリズムの多項式のみが記載されています。特定のプロトコルのバリエーションでは、前述のように、事前反転、事後反転、および逆ビット順序が課される場合があります。たとえば、Gzip と Bzip2 で使用される CRC32 は同じ多項式を使用しますが、Gzip は逆ビット順序を採用していますが、Bzip2 は採用していません。^[14]GF(2) の次数が 1 より大きい偶数パリティ多項式は、決して原始的ではないことに注意してください。この表で原始的とマークされている偶数パリティ多項式は、原始多項式にを掛けたものを表します。多項式の最上位ビットは常に 1 であり、16 進表現では表示されません。 $\left(x+1\right)$

実装

GNU Radio 3.6.1 までの CRC32 の実装 (2012 年頃)
さまざまな CRC から選択できる CRC チェックサム計算用の C クラスコード

CRCカタログ

パラメータ化されたCRCアルゴリズムのカタログ
CRC多項式動物園

参照

参考文献

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