ブリアンションの定理

幾何学において、ブリアンションの定理は、六角形が円錐曲線に外接するとき、その主対角線（反対の頂点を結ぶ線）が一点で交わるという定理である。この定理は、シャルル・ジュリアン・ブリアンション（1783年 - 1864年） にちなんで名付けられた。

円錐曲線の6本の接線によって形成される六角形を とする。このとき、線分 （それぞれ反対側の頂点を結ぶ延長された対角線）は、1点、つまりブリアンション点で交差する。^{[1] : p. 218  [2]}${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{4}}},\;{\overline {P_{2}P_{5}}},\;{\overline {P_{3}P_{6}}}}$ ${\displaystyle B}$

この定理の極逆定理と射影双対はパスカルの定理を与える。

パスカルの定理と同様に、ブリアンションの定理にも退化が存在します。2 つの隣接する接線が一致するとします。それらの交点は円錐の点になります。図では、3 組の隣接する接線が一致しています。この手順により、三角形の内接楕円に関するステートメントが生成されます。射影の観点から、2 つの三角形と は、中心 を持つ遠近法上にあります。つまり、一方を他方の三角形にマッピングする中心共線が存在することになります。ただし、特殊な場合にのみ、この共線はアフィン スケーリングになります。たとえば、ブリアンション点が重心であるシュタイナー内接楕円の場合などです。 ${\displaystyle P_{1}P_{3}P_{5}}$${\displaystyle P_{2}P_{4}P_{6}}$${\displaystyle B}$

ブリアンションの定理は、アフィン平面と実射影平面の両方で成り立ちます。しかし、アフィン平面での定理は、ある意味では射影平面での定理よりも情報量が少なく、より複雑です。たとえば、放物線の 5 つの接線を考えてみましょう。これらは、6 番目の辺が無限遠直線である六角形の辺と考えることができますが、アフィン平面には無限遠直線は存在しません。2 つの例では、(存在しない) 頂点から反対の頂点への線は、 5 つの接線のいずれかに平行な線になります。したがって、アフィン平面についてのみ述べられたブリアンションの定理は、このような状況では異なる方法で述べられる必要があります。

ブリアンションの定理の射影双対には、アフィン平面では例外がありますが、射影平面では例外がありません。

ブリアンションの定理は、根軸または往復運動の考え方で証明できます。証明するには、任意の長さ (MN) を取り、接点から始まる接線に沿って PL = RJ = QH = MN などとします。作成された点 (H,W)、(J,V)、(L,Y) で六角形の反対側の辺にそれぞれ接する円 a、b、c を描きます。一致する線が、対になっている 3 つの円の根軸 ab、bc、ca とそれぞれ一致することが簡単にわかります。したがって、O はこれら 3 つの円の根心と一致します。

この定理は、外接五角形の場合、例えば R と Q が F と一致する傾向があり、AFE が F での接線に変換される場合など、特別な形をとります。次に、点 T、C、U をさらに同様に識別すると、四角形に対応する定理が得られます。

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• パスカルの定理