ブロック積み上げ問題

静力学において、ブロック積み問題（時には「リールの斜塔」（ジョンソン 1955 ）、本の積み問題、調和階段^{[ 1 ]}、その他類似の用語で知られる）は、テーブルの端にブロックを積み重ねることに関するパズルである。

ブロック積み問題は、以下のパズルです。

場所${\displaystyle N}$同一の剛性のある長方形のブロックを、テーブルの端に安定して積み重ね、張り出し部分を最大化するように配置します。

パターソンら（2007）は、この問題に関する参考文献の長いリストを提供しており、19世紀半ばの力学の教科書まで遡る。

上記の最大張り出しの式は${\displaystyle n}$ブロック、それぞれ長さは${\displaystyle l}$そして大量${\displaystyle m}$1 段に積み重ねられたブロックは、テーブルの端から突き出たブロックにかかるトルクを考慮することで帰納的に証明できます。ブロックは、質量密度が均一であると仮定して、各ブロックの中心に位置する点質量としてモデル化できます。基本ケース (${\displaystyle n=1}$ブロックの重心はテーブルの端より上にあるため、${\displaystyle l/2}$。 のために${\displaystyle k}$ブロック、重心${\displaystyle k}$-ブロックシステムはテーブルの端より上に位置し、${\displaystyle k-1}$静的平衡を保つためには、上部のブロックは最初のブロックの端より上に位置しなければならない。^{[ 4 ]}${\displaystyle k}$th ブロックは${\displaystyle (k-1)}$th by${\displaystyle l/2}$そして最初の張り出しは${\displaystyle x}$[ ^{5 ]​}

${\displaystyle (k-1)mgx=(l/2-x)mg\implies x=l/2k,}$

どこ${\displaystyle g}$は重力場を表します。${\displaystyle k-1}$上部ブロックは重心から突き出ている${\displaystyle y}$すると、帰納的仮説を仮定すると、テーブルからの最大突出量は

${\displaystyle y+{\frac {l}{2k}}=\sum _{i=1}^{k}{l/2i}\implies y=\sum _{i=1}^{k-1}{l/2i}.}$

のために${\displaystyle k+1}$ブロック、${\displaystyle y}$どれだけ${\displaystyle k+1-1}$上部のブロックは重心から突き出ている${\displaystyle (y=\sum _{i=1}^{k}l/2i)}$、 そして${\displaystyle x={\frac {l}{2(k+1)}}}$すると、最大張り出し量は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {l}{2(k+1)}}+\sum _{i=1}^{k}l/2i=\sum _{i=1}^{k+1}l/2i.}$

Hall (2005)はこの問題を論じ、角が丸いブロックやブロック配置の有限精度などの非理想化に対して頑健であることを示し、隣接するブロック間の非ゼロ摩擦力を含むいくつかの変種を紹介している。

• Hall, JF (2005). 「積み木で遊ぼう」。American Journal of Physics . 73 (12): 1107–1116 . Bibcode : 2005AmJPh..73.1107H . doi : 10.1119/1.2074007 .。
• ジョンソン、ポール B. (1955 年 4 月) 「リラの斜塔」アメリカ物理学ジャーナル23 ( 4): 240. Bibcode : 1955AmJPh..23..240J . doi : 10.1119/1.1933957 .
• マイク・パターソン;ペレス, ユヴァル;ミッケル・ソーラップ;ピーター・ウィンクラー;ズウィック、ウリ(2007)。 「最大オーバーハング」。arXiv : 0707.0093 [ math.HO ]。

• ワイススタイン、エリック・W. 「本の積み重ね問題」 . MathWorld .
• 「無限の橋を築く」。PBS Infiniteシリーズ。2017年5月4日。 2018年9月3日閲覧。