ブロッホの定理（複素解析）

数学の一分野である複素解析において、ブロッホの定理は単位円上に定義された正則関数の挙動を記述する。これは、正則関数の逆関数が存在する円の大きさの下限を与える。この定理はアンドレ・ブロッホにちなんで名付けられた。

fを単位円上の正則関数とする| z | ≤ 1に対して

${\displaystyle |f'(0)|=1}$

ブロッホの定理は、S ⊂ D の円板が存在し、その上で f は双正則であり、f(S) には半径 1/72 の円板が含まれることを述べています。

f が単位円板上の正則関数で、| f′ (0)| = 1 という性質を持つ場合、fの像に含まれる最大の円板の半径をL _fとします。

ランダウの定理は、すべてのそのような関数fに対してL _fの最小値として定義される定数Lが存在し、L はブロッホの定数L ≥ Bよりも大きいことを述べています。

この定理はエドモンド・ランダウにちなんで名付けられました。

ブロッホの定理は、ジョルジュ・ヴァリロンの次の定理に触発されました。

定理。fが非定数整関数である場合、任意の大きさの半径を持つ円板DとD内の解析関数 φが存在し、 zがD内にある場合、f (φ( z )) =  z が成立します。

ブロッホの定理は、いわゆるブロッホの原理を介してヴァリロンの定理に対応します。

まず単位円においてf (0)=0、f′ (0)=1、| f′ ( z )|≤2 の場合を証明します。

コーシーの積分公式により、境界は

${\displaystyle |f''(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(w)}{(wz)^{2}}}\,\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\sup _{w=\gamma (t)}{\frac {|f'(w)|}{|wz|^{2}}}\leq {\frac {2}{r}},}$

ここで、γはzの周りの半径rの反時計回りの円であり、0 < r < 1 − | z |です。

テイラーの定理によれば、単位円内の各zに対して、0 ≤ t ≤ 1が存在し、f ( z ) = z + z ² f″ ( tz ) / 2が成立します。

したがって、| z | = 1/3かつ| w | < 1/6の場合、

${\displaystyle |(f(z)-w)-(zw)|={\frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|\leq {\frac {| z|^{2}}{1-t|z|}}\leq {\frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={\frac {1}{6}}< |z|-|w|\leq |zw|。}$

ルーシェの定理によれば、 fの範囲には0 の周りの半径 1/6 の円が含まれます。

D ( z ₀ , r ) がz _{0 の}周りの半径rの開円板を表すものとします。解析関数g  : D ( z ₀ , r ) → Cでg ( z ₀ ) ≠ 0の場合、上記のケースを ( g ( z ₀ + rz ) − g ( z ₀ )) / ( rg′ (0)) に適用すると、 gの値域にD ( g ( z ₀ ), | g′ (0)| r / 6)が含まれることになります。

一般的な場合、fを単位円上の解析関数とし、| f′ (0)| = 1、z ₀ = 0とする。

• | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z ₀ )| かつ | z − z ₀ | < 1/4 の場合、最初のケースにより、fの範囲には半径 | f′ (z ₀ )| / 24 = 1/24 の円が含まれます。
• それ以外の場合、 | z ₁ − z ₀ | < 1/4かつ| f′ ( z ₁ )| > 2| f′ ( z _{0 )|となる}z ₁が存在する。
• | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z ₁ )| かつ | z − z ₁ | < 1/8 の場合、最初のケースにより、fの範囲には半径 | f′ ( z ₁ )| / 48 > | f′ (z ₀ )| / 24 = 1/24 の円が含まれます。
• それ以外の場合、 | z ₂ − z ₁ | < 1/8かつ| f′ ( z ₂ )| > 2| f′ ( z _{1 )|となるような}z ₂が存在する。

この議論を繰り返すと、 fの範囲内で少なくとも 1/24 の半径を持つ円板を見つけて定理を証明するか、 | z _n − z _{n −1} | < 1/2 ^{n +1}かつ | f′ ( z _n )| > 2| f′ ( z _{n −1} )|となる無限シーケンス ( z _n ) を見つけます。

後者の場合、シーケンスはD (0, 1/2) 内にあるため、f′はD (0, 1/2)内で無制限となり、矛盾が生じます。

上記のランダウの定理の証明において、ルーシェの定理は、fの範囲内に少なくとも 1/24 の半径を持つ円板Dが見つかるだけでなく、単位円板の中に小さな円板D ₀も存在し、すべてのw ∈ Dに対して、 f ( z ) = wとなる唯一のz ∈ D ₀が存在することを意味します。したがって、f はD ₀ ∩ f ⁻¹ ( D )からDへの全単射の解析関数であるため、その逆関数 φ も逆関数定理により解析的です。

数値Bはブロッホ定数と呼ばれます。ブロッホの定理の下限値 1/72 は最適ではありません。ブロッホの定理によればB ≥ 1/72 ですが、 B の正確な値はまだわかっていません。

現在 Bの最もよく知られている境界は

${\displaystyle 0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-14}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.47186,}$

ここで、Γ はガンマ関数です。下限は Chen と Gauthier によって証明され、上限はAhlforsと Grunsky にまで遡ります。

ランダウの定理で同様に定義された最適定数Lはランダウ定数と呼ばれる。その正確な値も不明だが、

${\displaystyle 0.5<L\leq {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {5}{6}})}{\Gamma ({\frac {1 {6}})}}=0.543258965342...\,\!}$（OEISの配列A081760）

アルフォースとグルンスキーは論文の中で、その上限が実際にはBとLの真の値であると推測しました。

単位円板上の単射正則関数に対しても、同様に定数Aを定義することができる。

${\displaystyle 0.5<A\leq 0.7853}$

• 選択された数学定数の表

• Ahlfors, ラース・ヴァレリアン;ヘルムート・グランスキー（1937年）。 「ユーバー・ディ・ブロッホシェ・コンスタンテ」。数学的ツァイシュリフト。42 (1): 671–673。土井：10.1007/BF01160101。S2CID  122925005。
• Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998)。「ブロッホ定数とランダウ定数に関連する局所最小値の結果」。準等角写像と解析。アナーバー: Springer、ニューヨーク。pp. 55–89。
• アンドレ、ブロック (1925)。 「M.Valiron の機能と制服化に関する理論」(PDF)。トゥールーズ科学学部の年次報告書。17 (3): 1-22。土井：10.5802/afst.335。ISSN  0240-2963。
• チェン、フアイフイ。ゴーティエ、ポール M. (1996)。 「ブロック定数について」。Journal d'Analyse Mathématique。69 (1): 275–291。土井：10.1007/BF02787110。S2CID  123739239。
• Landau、Edmund (1929)、「Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten」、Mathematische Zeitschrift、30 (1): 608–634、doi :10.1007/BF01187791、S2CID  120877278

• ワイスタイン、エリック・W.「ブロック定数」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック・W.「ランダウ・コンスタント」。マスワールド。