ビルコフの定理（相対性理論）

一般相対性理論では、バーコフ・イェブセンの定理は、真空場方程式の球対称解は静的かつ漸近的に平坦でなければならないと述べている。これは、外部解（すなわち、球形で回転せず重力を持つ物体の外側の時空）はシュワルツシルト計量で与えられなければならないことを意味する。この定理の逆は真であり、イスラエルの定理と呼ばれている。^{[ 1 ] [ 2 ]}ニュートン重力では逆は真ではない。^{[ 3 ] [ 4 ]}

この定理は、 1921年にヨルグ・トフテ・イェプセンによって初めて証明され^{[ 5 ]}、1923年にジョージ・デイヴィッド・バーコフ（エルゴード理論の基礎となる点ごとのエルゴード定理という、もう一つの有名なバーコフの定理の著者）によって再発見された。イスラエルの定理は、ヴェルナー・イスラエルによって証明された。

バーコフの定理の直感的な考え方は、原点にある何らかの質量のある物体によって球対称な重力場が生成されるはずであり、もし他の場所に質量エネルギーの集中があれば球対称性が乱れるため、解は孤立した物体を表すと予想されるというものです。つまり、重力場は遠方で消滅するはずであり、これは（部分的に）解が漸近的に平坦であるという意味です。したがって、この定理のこの部分は、一般相対性理論がニュートン極限においてニュートン重力に帰着するという事実から予想されることとまさに一致します。

外部場も静止していなければならないという結論はより驚くべきことであり、興味深い結果をもたらす。球対称で質量が固定された星が球状脈動を起こしていると仮定する。すると、バーコフの定理によれば、外部の幾何学はシュワルツシルトでなければならない。脈動の唯一の効果は、恒星表面の位置を変えることである。これは、球状脈動星は重力波を放出できないことを意味する。重力波を放出するには、少なくとも質量四重極構造が必要となる。^{[ 6 ]}

バーコフの定理は一般化できる。アインシュタイン/マクスウェル場の方程式の球対称かつ漸近的に平坦な解は、${\displaystyle \Lambda }$は静的でなければならないため、球対称な荷電星の外部形状はライスナー・ノルドシュトロムの電気真空によって与えられなければならない。アインシュタイン・マクスウェル理論では、ベルトッティ・ロビンソン宇宙のように、球対称ではあるが漸近的に平坦ではない解が存在する。

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• Deser, S & Franklin, J (2005). "Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl". American Journal of Physics . 73 (3): 261–264 . arXiv : gr-qc/0408067 . Bibcode : 2005AmJPh..73..261D . doi : 10.1119/1.1830505 . S2CID 119454232 . 
• ディンヴェルノ、レイ（1992）。『アインシュタインの相対性理論入門』オックスフォード：クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-859686-3。バーコフの定理の証明については第14.6節を、一般化されたバーコフの定理については第18.1節を参照してください。
• バーコフ、GD（1923）。相対性理論と現代物理学。マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。LCCN 23008297。 
• JT ジェブセン (1921)。 「Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum (真空におけるアインシュタインの重力方程式の一般球面対称解について)」。マテマティク、天文学、フィシックのためのアルキフ。15：1～ 9。

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