ベルティーニの定理

数学において、ベルティーニの定理は、エウジェニオ・ベルティーニによって導入された、代数的に閉じた体上の滑らかな射影多様体の滑らかな連結超平面切断の存在定理と一般性定理である。これは、線型因子系に適用される「ベルティーニの定理」の中で最も単純で幅広いものである。最も単純なのは、基になる体の特性に制限がないのに対し、拡大には特性 0 が必要であるためである。^{[1] [2]}

X を、射影空間 に埋め込まれた代数的に閉じた体上の滑らかな準射影多様体とします 。での超平面因子の完全な系を表します。 これは の双対空間であり、 と同型であることを思い出してください。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle |H|}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$

ベルティーニの定理は、 X を含まず、 Xと滑らかに交差する超平面の集合には、全因子系の開稠密部分集合が含まれることを述べています。X が射影的である場合、集合自体は開集合です。の場合、これらの交差 ( Xの超平面セクションと呼ばれる)は連結であり、したがって既約です。 ${\displaystyle |H|}$${\displaystyle \dim(X)\geq 2}$

したがって、この定理は、Xに等しくない一般的な超平面セクションは滑らかである、つまり、滑らかさの特性が一般的であると主張します。

任意の体k上には、双対空間の稠密な開集合が存在し、その有理点によってXの超平面または滑らかな超平面セクションが定義されます。kが無限大のとき、この開集合には無数の有理点があり、Xには無数の滑らかな超平面セクションが存在します。 ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$

有限体上では、上記の開集合は有理点を含まない可能性があり、一般にXと滑らかに交差する超平面は存在しない。しかし、十分に大きな次数の超曲面を取れば、ベルティーニの定理が成り立つ。^[3]

Xとxで非横断的に交差する超平面の線型系上のファイバーによる積多様体のサブファイバー化を考察する。 ${\displaystyle X\times |H|}$${\displaystyle x\in X}$

積におけるファイバ化の階数は の余次元より 1 小さいので、全体の空間は より小さい次元を持ち、その射影は完全なシステム の約数に含まれます。 ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |H|}$

特性 0 の任意の無限体上で、 X が滑らかな準射影 - 多様体である場合、 X 上の因子の線型システムの一般元は、システムの基底軌跡から離れて滑らかになります。明確にするために、これは、線型システム が与えられた場合、双対射影空間 のある稠密な開部分集合内のすべての超平面Hに対して、超平面Hの逆像が滑らか ( fの基底軌跡の外側) になることを意味します。この定理は、線型システムfが不分岐である場合、特性 p>0 でも成立します。^[4]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}}$${\displaystyle f^{-1}(H)}$${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$

ベルティーニの定理は、さまざまな方法で一般化されています。たとえば、スティーブン クライマンによる結果は次のことを主張しています (クライマンの定理を参照)。連結な代数群 G、任意の同次G多様体 X、およびXに写像される2 つの多様体YとZに対して、 σ ∈ G がYに作用することによって得られる多様体をY ^{σとします。すると、} Gの開いた稠密な部分スキームH が存在し、 σ ∈ Hに対して、は空であるか、または純粋に (予想される)次元dim Y + dim Z − dim Xのいずれかになります。さらに、YとZが滑らかで、基本体が特性 0 を持つ場合、に対してもが滑らかになるようにH を取ることができます 。上記のベルティーニの定理は、 が SL _nを上三角行列のボレル部分群で割った商として表され、Z が部分多様体で、Y が超平面である特別な場合です。 ^[5]${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$${\displaystyle \sigma \in H}$${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

ベルティーニの定理は離散値領域や有限体、あるいはXのエタール被覆にも一般化されています。

この定理は帰納的手順によく使用されます。

• グロタンディークの連結性定理

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• ベルティーニと彼の2つの基本定理、スティーブン・L・クライマン著、エウジェニオ・ベルティーニの生涯と作品について