カールマン行列

数学において、カルマン行列は関数合成を行列乗算に変換するために使用される行列です。これは、パターン認識だけでは反復できない関数の連続反復を見つけるために、反復理論でよく使用されます。カルマン行列は、確率生成関数の理論やマルコフ連鎖でも使用されます。

無限微分可能関数のカルマン行列は次のように定義されます。 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}~,}$

（テイラー級数）方程式を満たすように：

${\displaystyle (f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.}$

例えば、 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}.~}$

は単に の 1 行目と列ベクトルのドット積に相当します。 ${\displaystyle M[f]}$${\displaystyle \left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\​​tau}}$

次の行の のエントリはの 2 乗を与えます。 ${\displaystyle M[f]}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}~,}$

また、のゼロ乗を得るために、最初の位置以外のすべての位置にゼロを含む行0を採用し、 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle M[f]}$

${\displaystyle f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot x^{k}~.}$

したがって、列ベクトル とのドット積は列ベクトル、すなわち、 ${\displaystyle M[f]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1,x,x^{2},...\end{bmatrix}}^{T}}$${\displaystyle \left[1,f(x),f(x)^{2},...\right]^{T}}$

${\displaystyle M[f]{\begin{bmatrix}1\\x\\x^{2}\\x^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\f(x)\\(f(x))^{2}\\(f(x))^{3}\\\vdots \end{bmatrix}}.}$

関数のカルマン行列の一般化は、次のように任意の点を中心に定義できます。

${\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]}$

または、です。これにより、行列のべき乗は次のように関係付けられます。 ${\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M[g]}$${\displaystyle g(x)=f(x+x_{0})-x_{0}}$

${\displaystyle (M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]}$

これをさらに一般化する別の方法としては、一般的なシリーズを次のように考えることです。

を の級数近似とする。ここで は を含む空間の基底である。${\displaystyle h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$${\displaystyle h(x)}$

がの基底でもあると仮定すると、を定義できるため、 が得られます。ここで、 がおよびの基底でもあると仮定すると、を証明できます。${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)}$${\displaystyle \psi _{m}\circ f=\sum _{n}c_{n}(\psi _{m}\circ f)\cdot \psi _{n}=\sum _{n}G[f]_{mn}\cdot \psi _{n}}$${\displaystyle G[g\circ f]=G[g]\cdot G[f]}$${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(f(x))}$

が となるものとします。${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \psi _{l}\circ g=\sum _{m}G[g]_{lm}\cdot \psi _{m}}$${\displaystyle G[g]_{lm}=c_{m}(\psi _{l}\circ g)}$

今

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}G[g\circ f]_{ln}\psi _{n}=\psi _{l}\circ (g\circ f)&=(\psi _{l}\circ g)\circ f\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}(\psi _{m}\circ f)\\&=\sum _{m}G[g]_{lm}\sum _{n}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n,m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}\psi _{n}\\&=\sum _{n}(\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn})\psi _{n}\end{aligned}}}$

最初の項と最後の項を比較すると、 と は の基数であり、次の式が成り立つ。${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(f(x))}$${\displaystyle G[g\circ f]=\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}=G[g]\cdot G[f]}$

とすると、カルルマン行列が得られます。なぜなら 、このとき、n 番目の係数はのテイラー級数の n 番目の係数でなければならないことが分かっているからです。 したがってしたがってこれは、上記の カルルマン行列です。 (これは正規直交基底ではないことに注意することが重要です)${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}}$
${\displaystyle h(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot \psi _{n}(x)=\sum _{n}c_{n}(h)\cdot x^{n}}$
${\displaystyle c_{n}(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c_{n}(h)={\frac {1}{n!}}h^{(n)}(0)}$
${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)=c_{n}(f(x)^{m})={\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(f(x))^{m}\right]_{x=0}}$

が定義された内積を持つヒルベルト空間の正規直交基底である場合、 と設定でき、になります。このとき と なります。 ${\displaystyle \{e_{n}(x)\}_{n}}$${\displaystyle \langle f,g\rangle }$${\displaystyle \psi _{n}=e_{n}}$${\displaystyle c_{n}(h)}$${\displaystyle {\displaystyle \langle h,e_{n}\rangle }}$${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle }$

フーリエ級数についても同様です。および は、フーリエ基底におけるカルマン係数と行列を表します。 基底は直交するため、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{inx}}$${\displaystyle {\hat {c}}_{n}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$

${\displaystyle {\hat {c}}_{n}(h)=\langle h,e_{n}\rangle ={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle h(x)\cdot e^{-inx}dx}$。

では、それゆえ、 ${\displaystyle {\hat {G}}[f]_{mn}={\hat {c_{n}}}(e_{m}\circ f)=\langle e_{m}\circ f,e_{n}\rangle }$

${\displaystyle {\hat {G}}[f]_{mn}={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle e^{imf(x)}\cdot e^{-inx}dx}$

カルマン行列は基本的な関係を満たす

• ${\displaystyle M[f\circ g]=M[f]M[g]~,}$

これにより、カルマン行列M はの (直接的な) 表現になります。ここで、 項は関数 の合成を表します。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f(g(x))}$

その他のプロパティは次のとおりです。

• ${\displaystyle \,M[f^{n}]=M[f]^{n}}$、ここで は反復関数であり、${\displaystyle \,f^{n}}$
• ${\displaystyle \,M[f^{-1}]=M[f]^{-1}}$ここで、 は逆関数です（カルマン行列が逆関数である場合）。${\displaystyle \,f^{-1}}$

定数のカルマン行列は次のようになります。

${\displaystyle M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

恒等関数のカルマン行列は次のようになります。

${\displaystyle M_{x}[x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

定数加算のカルマン行列は次のようになります。

${\displaystyle M_{x}[a+x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

後継関数のカルマン行列は二項係数に等しい。

${\displaystyle M_{x}[1+x]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&1&0&0&\cdots \\1&2&1&0&\cdots \\1&3&3&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[1+x]_{jk}={\binom {j}{k}}}$

対数のカルマン行列は、階乗でスケールされた第一種（符号付き）スターリング数と関連している。

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&-1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&-{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]_{jk}=s(k,j){\frac {j!}{k!}}}$

対数のカルマン行列は、階乗でスケールされた第一種（符号なし）スターリング数と関連している。

${\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]_{jk}=|s(k,j)|{\frac {j!}{k!}}}$

指数関数のカルマン行列は、階乗でスケールされた第2種スターリング数と関連している。

${\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{24}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {7}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]_{jk}=S(k,j){\frac {j!}{k!}}}$

指数関数のカルマン行列は次のようになります。

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&a&{\frac {a^{2}}{2}}&{\frac {a^{3}}{6}}&\cdots \\1&2a&2a^{2}&{\frac {4a^{3}}{3}}&\cdots \\1&3a&{\frac {9a^{2}}{2}}&{\frac {9a^{3}}{2}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]_{jk}={\frac {(ja)^{k}}{k!}}}$

定数倍のカルマン行列は次のようになります。

${\displaystyle M_{x}[cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

線形関数のカルマン行列は次のようになります。

${\displaystyle M_{x}[a+cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

関数のカルマン行列は次のようになります。 ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}}$

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

関数のカルマン行列は次のようになります。 ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}}$

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

関数のベル行列またはジャボチンスキー行列は次のように定義される^{[1] [2] [3]}${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}~,}$

方程式を満たすように

${\displaystyle (f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}~,}$

これらの行列は1947年にエリ・ジャボチンスキーによって多項式の畳み込みを表現するために開発された。^[4]これはカルマン行列の 転置であり、

${\displaystyle B[f\circ g]=B[g]B[f]~,}$これにより、ベル行列Bは の反表現になります。 ${\displaystyle f(x)}$

• カールマン線形化
• 合成演算子
• 関数合成
• シュレーダー方程式
• ベル多項式

• R Aldrovandi、「数理物理学の特殊行列: 確率行列、巡回行列、ベル行列」、World Scientific、2001 年。(プレビュー)
• R. Aldrovandi、LP Freitas、「動的マップの連続反復」、オンラインプレプリント、1997 年。
• P. Gralewicz、K. Kowalski、「反復マップと Carleman 線形化からの連続時間発展」、オンラインプレプリント、2000 年。
• K Kowalski と WH Steeb、「非線形動的システムと Carleman 線形化」、World Scientific、1991 年。(プレビュー)