ベーレンドのトレースの公式

代数幾何学において、ベーレンドのトレース公式は、グロタンディーク-レフシェッツのトレース公式を有限体上の滑らかな 代数スタックに一般化したものであって、1993年に予想され^[1]、2003年にカイ・ベーレンドによって証明された^{[2] 。古典的な公式とは異なり、この公式は「}スタック方式」で点を数え、非自明な自己同型の存在を考慮に入れている。

この公式が求められるのは、それが有限体上の曲線上の主バンドルのモジュライスタックに適用されるという事実から来ている（モジュライスタックは有限型ではないため、ハーダー・ナラシムハンの成層化を介して間接的に適用される場合もある。^{[3] [4]}）。この場合の正確な定式化については、 主バンドルのモジュライスタックとその中の参考文献を参照のこと。

ピエール・ドリーニュは、この式がセルバーグの跡の式の一種として解釈できることを示す例^[5]を発見した。

イヴ・ラズロとマーティン・オルソン^{[6]によって開発された}6つの演算形式論の文脈におけるこの式の証明は、シェンハオ・サン^[7]によって与えられている。

定義により、Cが各オブジェクトが有限個の自己同型を持つカテゴリである場合、その点の数は次のように表される。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \#C=\sum _{p}{1 \over \#\operatorname {Aut} (p)},}$

の和はCのすべての同型類の代表pにわたっている。（一般に級数は発散することがある。）式は次のように述べている。有限体上の有限型の滑らかな代数スタックXと「算術的」フロベニウス、すなわちグロタンディークの公式における通常の幾何学的フロベニウスの逆に対して、 ^{[8] [9]}${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:X\to X}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \#X(\mathbb {F} _{q})=q^{\dim X}\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(X,\mathbb {Q} _{l})\right).}$

ここで、スタックのコホモロジーが滑らかな位相（エタールではない） に関するものであることが重要です。

X が多様体の場合、滑らかなコホモロジーはエタールのコホモロジーと同じであり、ポアンカレ双対性を介して、これはグロタンディークのトレース公式と同等です。(ただし、ベーレンドのトレース公式の証明はグロタンディークの公式に依存しているため、これはグロタンディークの公式を包含しません。)

乗法群スキームの分類スタック（つまり、 ）を考えてみましょう。定義により、は 上の主-バンドルのカテゴリであり、同型類を 1 つだけ持っています（ラングの定理により、このようなバンドルはすべて自明であるため）。その自己同型群は であり、これは-同型の数が であることを意味します。 ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}=[\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}/\mathbb {G} _{m}]}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)=R^{\times }}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \#\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})=\#\mathbb {F} _{q}^{\times }=q-1}$

一方、のl進コホモロジーを直接計算することもできます。位相的な設定では、(ここで は位相群の通常の分類空間を表します) があり、その有理コホモロジー環は 1 つの生成元 (ボレルの定理)の多項式環ですが、これを直接使用することはしません。代数幾何学の世界に留まりたい場合は、代わりに、より次元の大きい射影空間で「近似」することができます。したがって、に対応する -バンドルによって誘導されるマップを考えます。このマップは、 2Nまでの次数でコホモロジーの同型を誘導します。したがって、 の偶数 (奇数) ベッチ数はそれぞれ 1 (0) であり、(2n)番目のコホモロジー群のl進ガロア表現は円分指標のn乗です。2 番目の部分は、 のコホモロジーが代数サイクル クラスによって生成される という事実の結果です。これは、${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {CP} ^{\infty}}$${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(B\mathbb {G} _{m},\mathbb {Q} _{l})\right)=1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+\cdots ={\frac {q}{q-1}}.}$

ご了承ください

${\displaystyle \dim B\mathbb {G} _{m}=\dim \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}-\dim \mathbb {G} _{m}=-1.}$

を掛けると、予測された等式が得られます。 ${\displaystyle q^{-1}}$

• Shenghao, Sun (2011). 「有限体上のアルティンスタックの L 級数」.代数と数論. 6 : 47–122. arXiv : 1008.3689 . doi :10.2140/ant.2012.6.47. S2CID  119599074.