バンド図

半導体の固体物理学において、バンド図とは、様々な主要な電子エネルギーレベル（フェルミレベルと近くのエネルギーバンド端）を、しばしばxと表記される空間次元の関数としてプロットした図です。^{[1]これらの図は、多くの種類の}半導体デバイスの動作を説明し、バンドが位置によってどのように変化するか（バンドベンディング）を視覚化するのに役立ちます。バンドは、レベルの充填を区別するために色分けされることがあります。

バンド図とバンド構造プロットを混同しないでください。バンド図とバンド構造プロットの両方において、縦軸は電子のエネルギーに対応します。違いは、バンド構造プロットでは横軸が無限に大きく均質な物質 (結晶または真空) 内の電子の波数ベクトルを表すのに対し、バンド図では横軸が空間内の位置 (通常は複数の物質を通過する) を表すことです。

バンド図はバンド構造が場所によってどのように変化するかを示しているため、バンド図の解像度はハイゼンベルクの不確定性原理によって制限される。バンド構造は運動量に依存しており、運動量は大きな長さスケールでのみ正確に定義される。このため、バンド図は長い長さスケールでのバンド構造の進化を正確に描写することしかできず、異なる物質間（または物質と真空間）の鋭い原子スケールの界面の微視的画像を示すことは難しい。通常、界面は「ブラックボックス」として描写する必要があるが、その長距離効果は漸近的なバンドの曲がりとしてバンド図に表示できる。^[2]

バンド図の縦軸は電子のエネルギーを表し、これには運動エネルギーと位置エネルギーの両方が含まれます。横軸は位置を表しますが、多くの場合、スケール通りに描かれていません。バンド図はエネルギーバンド（運動量に依存するバンド構造の結果として）を示すため、ハイゼンベルクの不確定性原理により、高い位置分解能でバンド図を描くことができないことに注意してください。

基本的なバンド図は電子のエネルギー レベルのみを示しますが、多くの場合、バンド図にはさらに多くの特徴が加えられます。電子 (または電子ホール) がドリフトしたり、光源によって励起されたり、励起状態から緩和したりするときに、エネルギーと位置の動きが漫画で表現されるのが一般的です。バンド図は、バイアス電圧の適用方法、電荷の流れ方などを示す回路図と接続して示されることがあります。バンドはエネルギー レベルの充満を示すために色付けされる場合があり、代わりにバンド ギャップが色付けされることもあります。

材質と必要な詳細度に応じて、さまざまなエネルギー レベルが位置に対してプロットされます。

• E _Fまたはμ : バンド量ではありませんが、フェルミ準位(電子の全化学ポテンシャル) はバンド図の重要な準位です。フェルミ準位はデバイスの電極によって設定されます。平衡状態のデバイスでは、フェルミ準位は定数であるため、バンド図では平坦な線として示されます。平衡状態でない場合 (たとえば、電圧差が適用されている場合)、フェルミ準位は平坦ではありません。さらに、平衡状態ではない半導体では、異なるエネルギーバンドに対して複数の準フェルミ準位を示す必要がある場合がありますが、平衡状態ではない絶縁体または真空では、準平衡の説明を与えることができない場合があり、フェルミ準位を定義することはできません。
• E _C :伝導帯端は、 n型半導体など、電子が伝導帯の底部で輸送される可能性がある状況で示される必要があります。伝導帯端は、単にバンドベンディング効果を示すために、絶縁体でも示されることがあります。
• E _V : p型半導体のように、電子（または正孔）が価電子帯の上部を通って輸送される状況では、同様に価電子帯端を示す必要があります。
• E _i :半導体には、材料が中性ドープされる（つまり、移動可能な電子と正孔の数が等しい）ためにフェルミ準位がどこになければならないかを示すために、固有のフェルミ準位が含まれる場合があります。
• E _imp :不純物エネルギーレベル。多くの欠陥やドーパントは半導体や絶縁体のバンドギャップ内に状態を追加します。それらのエネルギーレベルをプロットすると、イオン化されているかどうかを確認できます。^[3]
• E _vac : 真空では、真空レベルはエネルギー を示します。ここで は静電ポテンシャルです。真空は一種の絶縁体とみなすことができ、E _vacは伝導帯端の役割を果たします。真空と物質の界面では、真空のエネルギーレベルは物質の仕事関数とフェルミレベルの合計によって決まります。${\displaystyle -e\phi}$${\displaystyle \phi}$
• 電子親和力レベル: 場合によっては、物質の内部でも、伝導帯より一定の高さに「真空レベル」がプロットされ、電子親和力によって決まります。この「真空レベル」は実際のエネルギー帯に対応しておらず、明確に定義されていません (厳密に言えば、電子親和力は表面特性であり、バルク特性ではありません)。ただし、アンダーソンの法則やショットキー・モットの法則などの近似値を使用する際の参考になることがあります。

バンド図を見ると、物質内の電子エネルギー状態(バンド) は接合部付近で上向きまたは下向きに曲がっていることがわかります。この効果はバンド ベンディングと呼ばれます。これは物理的な (空間的な) ベンディングとは関係ありません。むしろ、バンド ベンディングとは、空間電荷効果により接合部付近の半導体のバンド構造のエネルギー オフセットにおける電子構造の局所的な変化を指します。

半導体内部のバンド ベンディングの根底にある基本原理は、空間電荷、つまり電荷中性度の局所的な不均衡です。ポアソン方程式は、電荷中性度の不均衡がある場所では必ずバンドに曲率を与えます。電荷の不均衡が生じる理由は、均質な材料はどこでも電荷中性である (平均的には電荷中性でなければならないため) ものの、インターフェースにはそのような要件がないためです。実質的にすべての種類のインターフェースで電荷の不均衡が生じますが、理由はそれぞれ異なります。

• 同じ半導体の異なる 2 つのタイプの接合部 (例: pn 接合) では、ドーパントがまばらに分布し、システムを乱すだけなので、バンドは連続的に変化します。
• 2 つの異なる半導体の接合部では、一方の材料から他方の材料へのバンド エネルギーが急激にシフトします。接合部でのバンドの配置 (たとえば、伝導帯のエネルギーの差) は固定されています。
• 半導体と金属の接合部では、半導体のバンドは金属のフェルミ準位に固定されます。
• 導体と真空の接合部では、真空レベル（真空静電ポテンシャルから）は、物質の仕事関数とフェルミレベルによって設定されます。これは（通常）導体と絶縁体の接合部にも当てはまります。

2 種類の異なる材料を接触させたときにバンドがどのように曲がるかを知ることは、接合が整流性(ショットキー) になるか、オーミック性になるかを理解する鍵となります。バンドの曲がり具合は、接合を形成する材料の相対的なフェルミ準位とキャリア濃度に依存します。n 型半導体ではバンドは上向きに曲がり、p 型ではバンドは下向きに曲がります。バンドの曲がりは磁場や温度勾配によるものではないことに注意してください。むしろ、それは電場の力と連動してのみ発生します。^{[引用が必要]}

• アンダーソンの法則–真空電子親和力に基づくヘテロ接合のバンド配列のおおよその法則
• ショットキー・モット則–真空電子親和力と仕事関数に基づく金属-半導体接合のバンド配列のおおよその規則
• 電界効果（半導体） - 半導体の真空（または絶縁体）表面での電界によって誘起されるバンドの曲がり
• トーマス・フェルミ遮蔽- 帯電欠陥の周囲で発生するバンド曲がりの基本的な理論
• 量子容量– 2次元電子ガスを含む物質系における、電界効果によるバンドベンディングの特殊なケース

ウィキメディア・コモンズには、バンド図に関連するメディアがあります。

• James D. Livingston、「工学材料の電子特性」、Wiley (1999 年 12 月 21 日)。