円筒応力

周方向応力とは、円筒壁の各粒子に、円周方向（物体の軸および半径に垂直な方向）に両方向に作用する面積あたりの力のことです。これは次のように表すことができます。

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$

どこ：

• Fは、以下の2つの長さを辺とする円筒壁の領域に円周方向に加わる力である。
• tは円筒の半径方向の厚さである。
• lは円筒の軸方向の長さである。

周方向応力を表す際のフープ応力の代替として、壁応力または壁張力（T）があり、これは通常、半径方向の厚さ全体に沿って作用する全周方向力として定義されます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$

軸方向応力と半径方向応力に加えて、円周方向応力は円筒座標系における応力テンソルの成分である。

回転対称性を持つ物体に加わる力は、円筒座標r、z、θに平行な成分に分解すると、通常は有効です。これらの力の成分は、それぞれ半径方向応力、軸方向応力、周方向応力という対応する応力を生じさせます。

薄肉仮定が有効であるためには、容器の壁厚は半径の約10分の1以下（直径/t > 20とよく言われる）でなければならない。^{[ 4 ]}これにより、壁を表面として扱うことができ、その後、ヤング・ラプラス方程式を使用して、薄肉円筒形圧力容器に内圧によって生じる周方向応力を推定することができる。

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }$ （円筒形の場合）

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$ （球体の場合）

どこ

• Pは内部圧力です
• tは壁の厚さです
• rは円筒の平均半径です
• ${\displaystyle \sigma _{\theta }\!}$これは周方向応力です。

薄肉シェルに対する周方向応力方程式は、内部膨圧が数気圧に達することもある植物細胞や細菌などの球状容器にも近似的に適用できます。円筒（パイプやチューブ）の実用的な工学応用では、周方向応力は圧力用に再編成されることが多く、バーロウの公式と呼ばれています。

圧力PのSI単位はパスカル（Pa）で、 tとrの単位はメートル（m）です。インチ・ポンド・秒（IPS）系における圧力Pの単位はポンド・ポンド毎平方インチ（psi）です。tとrの単位はインチ（in）です。

容器の両端が閉じている場合、内部圧力が両端に作用し、円筒の軸に沿った力が発生します。これは軸方向応力と呼ばれ、通常は周方向応力よりも小さくなります。

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pr^{2}}{(r+t)^{2}-r^{2}}}\ }$

これは近似的に

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$

放射状の応力も存在する${\displaystyle \sigma _{r}\ }$これは表面に垂直に展開され、薄肉円筒では次のように推定できます。

${\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }$

薄肉の仮定では、比率は${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$は大きいため、ほとんどの場合、この成分は周方向応力と軸方向応力に比べて無視できると考えられます。^{[ 5 ]}

研究対象のシリンダーが$半径/厚さ$10未満の比率（しばしば引用される）$直径/厚さ}<20$) 内面と外面の間で応力が大きく異なり、断面を通るせん断応力を無視できなくなるため、薄肉円筒の方程式はもはや成り立たなくなります。

これらの応力とひずみは、フランスの数学者ガブリエル・ラメによって開発された一連の方程式であるラメ方程式^{[ 6 ]}を使用して計算できます。

${\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

$\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

どこ：

${\displaystyle A}$そして ${\displaystyle B}$は積分定数であり、境界条件から求めることができる。

${\displaystyle r}$これは、対象点（例えば、内壁または外壁）における半径です。

境界条件を持つ円筒の場合：

${\displaystyle p(r=a)=P_{a}}$（つまり内部圧力）${\displaystyle P_{a}}$内面において）、

${\displaystyle p(r=b)=P_{b}}$（つまり外部圧力）${\displaystyle P_{b}}$外面）、

以下の定数が得られる。

${\displaystyle A={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ }$、

${\displaystyle B={\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{b^{2}-a^{2}}}\ }$。

これらの定数を用いると、半径方向応力と周方向応力について、それぞれ以下の式が得られる。

${\displaystyle \sigma _{r}={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}-{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$、

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}+{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$。

これらの応力の結果が正の値であれば引張、負の値であれば圧縮を示すことに注意してください。

中実円柱の場合：${\displaystyle R_{i}=0}$それから${\displaystyle B=0}$固体の円筒には内部圧力がないため${\displaystyle A=P_{o}}$。

肉厚シリンダーの場合、比率${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$が 10 未満の場合、半径方向の応力は他の応力に比べて無視できない値になり (つまり、P はもはや Pr/t や Pr/2t よりはるかに小さくはなくなり)、壁の厚さが設計上の重要な考慮事項になります (Harvey、1974、pp. 57)。

圧力容器理論では、壁の任意の要素は三軸応力系で評価され、3つの主応力は周方向、縦方向、および半径方向です。したがって、定義により、横断面、接線面、または半径面にはせん断応力は存在しません。^{[ 1 ]}

厚肉円筒では、任意の点における最大せん断応力は、最大応力と最小応力の代数差の半分で与えられ、したがって、周方向応力と半径方向応力の差の半分に等しくなります。せん断応力は内面で最大となり、これは厚肉円筒の実際の破断試験とよく相関するため、破壊の基準として重要です（Harvey、1974、p. 57）。

破壊は、他の外部荷重がない場合、最大の主応力である周方向応力によって支配されます。周方向応力は内側で最大の応力を受けることに注意してください（外側と内側では同じ総ひずみを受けますが、これは異なる円周に分布します）。したがって、パイプの亀裂は理論的にはパイプの内側から始まるはずです。これが、地震後のパイプ検査で通常、カメラをパイプ内に挿入して亀裂を検査する理由です。降伏は、周方向応力と、それが存在しない場合は縦方向または半径方向の応力を含む等価応力によって支配されます。

血管壁や消化管壁の病理学では、壁張力は血管壁にかかる筋張力を表します。ラプラスの法則の結果として、血管壁に動脈瘤が形成されると、血管の半径が増加します。これは、血管にかかる内向きの力が減少することを意味し、したがって動脈瘤は破裂するまで拡大し続けます。同様の論理は、腸管における憩室の形成にも当てはまります。^{[ 7 ]}