アルキメデスの牛問題

アルキメデスの牛問題（アルキメデスのうしじょうほう、アルキメデスのうしじょうほう）は、整数解を持つ多項式方程式の研究であるディオファントス解析学における問題である。アルキメデスの作とされるこの問題は、与えられた制約条件から太陽神の牛の群れの数を計算するものである。この問題は、1773年にドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館に所蔵されていた44行の詩を含むギリシャ語の写本の中でゴットホルト・エフライム・レッシングによって発見された。 ^[1]

この問題は、解法に含まれる膨大な数の計算が困難だったこともあり、何年も未解決のままだった。一般解は、1880年にドイツのドレスデンにある聖十字架のギムナジウムの校長であったカール・エルンスト・アウグスト・アムトール（1845-1916） によって発見された。^{[2] [3] [4]彼は}対数表を使用して最小解の最初の桁を計算し、それが約7.76 × 10 ^{206 544}頭の牛は、観測可能な宇宙に収まる量をはるかに超えています。^[5]小数点形式は人間が正確に計算するには長すぎますが、コンピューターの多倍長演算パッケージでは明示的に書き出すことができます。

1769年、ゴットホルト・エフライム・レッシングは、ドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館の司書に任命された。この図書館には、ギリシャ語とラテン語の写本が多数所蔵されていた。[ 6 ^{]数年後、レッシングはいくつかの写本の翻訳と解説を出版した。その中には、}太陽神の群れの中の牛の数を求める算数問題を含む44行のギリシャ詩があった。これは現在では一般にアルキメデスの作品とされている。^{[7] [8]}

この問題は、アイヴァー・トーマスによって英語に翻訳され、次のように述べられています。^[9]

よそ者よ、もし汝が勤勉で賢明であるならば、太陽の牛の数を計算してみよ。その牛は昔、シチリア島のトリナキア島の野原で草を食んでいた。牛は色の異なる4つの群れに分かれており、1つは乳白色、1つは光沢のある黒色、3番目は黄色、そして最後は斑模様であった。それぞれの群れには雄牛がおり、その数はこれらの割合に応じて強かった。よそ者よ、理解しなさい。白い雄牛は黒い雄牛の半分と3分の1に黄色の全量、一方黒い雄牛は斑模様の4分の1と5分の1に黄色の全量であった。さらに、残りの斑模様の雄牛は白い雄牛の6分の1と7分の1に黄色の全量であったことにも注目しなさい。これらが雌牛の割合であった。白い雄牛は黒い雄牛の群れ全体の3分の1と4分の1に正確に等しかった。一方、黒い牛は、まだらの牛の4分の1に等しく、また、それとともに5分の1に等しかった。雄牛も含め、すべてが一緒に牧草地へ行ったときである。今、まだらの牛の4分の1は、黄色の牛の5分の1と6分の1に等しかった。最後に、黄色の牛の数は、白い牛の6分の1と7分の1に等しかった。おお、見知らぬ人よ、太陽の牛の数を正確に言い当てることができ、よく肥えた雄牛の数と、それぞれの色に応じた雌の数を別々に言うことができれば、あなたは未熟者や数に疎い者とは呼ばれないだろうが、それでもあなたは賢者の仲間入りはしないであろう。

しかし、太陽の牛に関するこれらの条件もすべて理解しなさい。白い雄牛が黒い雄牛と混ざり合ったとき、それらは深さと幅が等しくしっかりと立ち、あらゆる方向に広がるトリナキアの平原はそれらの群れで満たされました。また、黄色の雄牛とまだら模様の雄牛が一つの群れに集められたとき、それらの数は1頭から始まり、三角形を完成するまで徐々に大きくなり、その中に他の色の雄牛はおらず、欠けているものもありませんでした。おお、見知らぬ人よ、もしあなたがこれらすべてのことを見つけ出し、それらをあなたの心の中に集め、すべての関係を与えることができれば、あなたは栄光の冠をかぶって去り、この種の知恵においてあなたが完璧であると判断されたことを知ります。

問題の最初の部分は、方程式のシステムを設定することで簡単に解決できます。白、黒、まだら模様、黄色の雄牛の数を および と書き、白、黒、まだら模様、黄色の雌牛の数を および と書き、問題は単に の解を見つけることです。 ${\displaystyle W,B,D,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle w,b,d,}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}}$

これは8つの未知数を持つ7つの方程式のシステムです。これは不定であり、無限の解を持ちます。7つの方程式を満たす最小の正の整数は

${\displaystyle {\begin{aligned}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{aligned}}}$

合計すると50 389 082頭の牛^[10]であり、他の解はこれらの整数倍である。素数 p = 4657の場合、最初の4つの数はpの倍数であり、pとp+1の両方が以下で繰り返し出現することに注意してください。

問題の2番目の部分では、 は平方数であり、 は三角数であると述べられています。この問題のこの部分の一般解は、1880年にA. Amthor ^[11]によって初めて発見されました。次のバージョンは、H. W. Lenstra ^{[5]によって}ペルの方程式に基づいて説明されました。問題の最初の部分に対する上記の解は、 ${\displaystyle W+B}$${\displaystyle Y+D}$

${\displaystyle n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}},}$

ここでjは任意の正の整数であり、

${\displaystyle w=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\, 258{\sqrt {7766}},}$

同様に、wを2乗すると、

${\displaystyle w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}},}$

ペル方程式の基本解はどこにあるか${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1.}$

問題の第一部分と第二部分の両方を満たす最小の群れのサイズは、j = 1 で与えられ、およそ(Amthor によって最初に解決されました) です。現代のコンピュータは、答えのすべての桁を簡単に印刷できます。これは、1965 年にウォータールー大学でHugh C. Williams 、R. A. German、Charles Robert Zarnkeによって初めて実行されました。彼らはIBM 7040とIBM 1620コンピュータの組み合わせを使用しました。^[12]${\displaystyle 7.76\times 10^{206\,544}}$

問題の2番目の部分の制約は単純で、解く必要のある実際のペル方程式は簡単に与えられる。まず、B + Wが正方形である必要があるとすると、または上記の値を使用すると、

${\displaystyle B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k, }$

したがって、ある整数qに対してk = (3)(11)(29)(4657) q ²と設定する。これで最初の条件は解決する。2番目の条件については、 D + Yが三角数である必要があります。

${\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.}$

tについて解くと、

${\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.}$

D + Yとkの値を代入し、この二次式の判別式が完全な平方p ^2となるq ²の値を求めると、ペル方程式を解くことになる。

${\displaystyle p^{2}-(2^{2})(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1.}$

前のセクションで説明した Amthor のアプローチは、基本的に で割り切れる最小の値を見つけることでした。この方程式の基本解は、100,000 桁を超える小数点以下桁数になります。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle 2\times 4657}$

• ベル、AH (1895)、「紀元前251年のアルキメディスによる「牛の問題」」、アメリカ数学月刊誌、2 (5)、アメリカ数学協会: 140–141、doi :10.2307/2968125、JSTOR  2968125
• Dörrie, Heinrich (1965)。「アルキメデスの牛の問題」。初等数学の 100 大問題。Dover Publications。pp . 3–7。
• Williams, HC; German, RA; Zarnke, CR (1965). 「アルキメデスの牛問題の解決」.計算数学. 19 (92).アメリカ数学会: 671–674. doi : 10.2307/2003954 . JSTOR  2003954.
• Vardi, I. (1998). 「アルキメデスの牛問題」.アメリカ数学月刊誌. 105 (4). アメリカ数学協会: 305–319. doi :10.2307/2589706. JSTOR  2589706.
• ベンソン、 G . (2014)。「詩人アルキメデス：牛問題における一般的な革新と数学的ファンタジー」。アレトゥーサ。47 ( 2 )。ジョンズホプキンス大学出版局：169–196。doi ：10.1353/are.2014.0008。S2CID 162393743  。

• OEISシーケンス A096151 (アルキメデスの牛問題に対する 206545 桁の整数解の 10 進展開) - 2 番目の問題に対する完全な 10 進解
• Alex Bellos (2019年11月24日). 「なんてことだ、大きな数字だ」（動画） . YouTube . Brady Haran . 2021年12月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年11月25日閲覧。