オペアンプ積分器

オペアンプ積分器は電子積分回路です。オペアンプ（オペアンプ）に基づいて、時間に関する積分という数学的演算を実行します。つまり、出力電圧は時間に対して積分された入力電圧に比例します。

積分回路は、主にアナログ コンピュータ、アナログ/デジタル コンバータ、波形整形回路で使用されます。波形整形の一般的な用途はチャージ アンプであり、通常はオペアンプを使用して構築されますが、高ゲインの個別トランジスタ構成を使用することもできます。

入力電流は、アンプの出力電圧の増加によって生成されるコンデンサを流れる負のフィードバック電流によって相殺されます。したがって、出力電圧は、相殺する必要がある入力電流の値と、フィードバック コンデンサの値の逆数に依存します。コンデンサの値が大きいほど、特定のフィードバック電流を生成するために生成する必要がある出力電圧は少なくなります。

ミラー効果により、回路の入力容量はほぼゼロになります。これにより、浮遊容量（ケーブル容量、アンプ入力容量など）が実質的に接地され、出力信号に影響を与えないことが保証されます。^[1]

この回路は、検討中の時間中にコンデンサを 充電または放電する電流を流すことで動作し、入力電流の影響を相殺して入力の 仮想接地状態を維持しようとします。${\displaystyle C_{\text{F}}}$

上の図を参照すると、オペアンプが理想的であると仮定すると、反転 (-) 入力の電圧は、仮想グランドとして非反転 (+) 入力の電圧と等しくなります。入力電圧は抵抗器に電流を流し、直列コンデンサに補償電流を流して仮想グランドを維持します。これにより、時間の経過とともにコンデンサが充電または放電されます。抵抗器とコンデンサは仮想グランドに接続されているため、入力電流はコンデンサの電荷によって変化せず、すべての周波数で機能する線形積分が実現されます ( RC 回路 § 積分器とは異なります)。 ${\displaystyle V_{\text{in}}/{R_{1}}}$

反転入力に キルヒホッフの電流法則を適用することで回路を解析できます。

${\displaystyle i_{\text{1}}=I_{\text{B}}+i_{\text{F}}}$

理想的なオペアンプの場合、アンプは次のようになります。 ${\displaystyle I_{\text{B}}=0}$

${\displaystyle i_{\text{1}}=i_{\text{F}}}$

さらに、コンデンサには次の式で表わされる電圧と電流の関係があります。

${\displaystyle i_{\text{F}}=C_{\text{F}}{\frac {d(V_{\text{2}}-V_{\text{o}})}{dt}}}$

適切な変数を代入します。

${\displaystyle {\frac {V_{\text{in}}-V_{\text{2}}}{R_{\text{1}}}}=C_{\text{F}}{\frac {d(V_{\text{2}}-V_{\text{o}})}{dt}}}$

理想的なオペアンプの場合、電圧は次のようになります。 ${\displaystyle V_{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {V_{\text{in}}}{R_{\text{1}}}}=-C_{\text{F}}{\frac {dV_{\text{o}}}{dt}}}$

両辺を時間に関して積分すると次のようになります。

${\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {V_{\text{in}}}{R_{\text{1}}}}\ dt\ =-\int _{0}^{t}C_{\text{F}}{\frac {dV_{\text{o}}}{dt}}\,dt}$

の初期値が0ボルトであると仮定すると、出力電圧は単純に入力電圧の積分に比例する：^[2]${\displaystyle V_{\text{o}}}$

${\displaystyle V_{\text{o}}=-{\frac {1}{R_{\text{1}}C_{\text{F}}}}\int _{0}^{t}V_{\text{in}}\,dt}$

この実用的な積分器は、理想的な積分回路のいくつかの欠陥に対処しようとします。

実際のオペアンプには、有限の開ループ ゲイン、入力オフセット電圧 、および入力バイアス電流があり、これらは十分に一致していない場合があり、反転入力に入るものと非反転入力に入るものと区別されることがあります。これにより、理想的な設計でいくつかの問題が発生する可能性があります。最も重要なのは、の場合、出力オフセット電圧と入力バイアス電流の両方によって電流がコンデンサを通過し、オペアンプが飽和するまで出力電圧が時間の経過とともにドリフトする可能性があることです。同様に、信号が 0 ボルトを中心にしている場合 (つまり、DC成分がない場合)、理想的な回路ではドリフトは予想されませんが、実際の回路では発生する可能性があります。 ${\displaystyle (V_{\text{OS}})}$${\displaystyle (I_{\text{B}})}$${\displaystyle I_{\text{B-}}}$${\displaystyle I_{\text{B+}}}$${\displaystyle V_{\text{in}}=0}$${\displaystyle I_{\text{B-}}}$${\displaystyle V_{\text{in}}}$

入力バイアス電流の影響を打ち消すには、非反転端子に抵抗を含める必要があります。この抵抗は、負荷抵抗とフィードバック抵抗よりもはるかに小さいと仮定して、次のように簡略化されます。入力バイアス電流が適切にマッチングされると、反転端子と非反転端子の両方で同じ電圧降下が発生し、これらの入力でのバイアス電流の影響が効果的に打ち消されます。 ${\displaystyle R_{\text{om}}=R_{1}||R_{\text{F}}||R_{\text{L}},}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{L}}$${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle R_{1}I_{\text{B}}}$

また、DC 定常状態では、理想的なコンデンサはオープン サーキットとして機能します。したがって、理想的な回路の DC ゲインは無限大です (または、実際には、非理想的なオペアンプのオープン ループ ゲイン)。DC (または非常に低い周波数) コンポーネントがあると、オペアンプの出力が飽和状態にドリフトする可能性があります。^{[3]これを防ぐには、}フィードバックコンデンサと並列に大きな抵抗を挿入して、DC ゲインを有限値に制限します。一部のオペアンプには大きな内部フィードバック抵抗があり、多くの実際のコンデンサには、実質的に大きなフィードバック抵抗となるリークがあることに注意してください。 ^[4]${\displaystyle R_{\text{F}}}$

これらの抵抗器を追加すると、出力ドリフトが有限の、できれば小さい DC エラー電圧に変わります。

${\displaystyle V_{\text{error}}=\left({\frac {R_{\text{F}}}{R_{1}}}+1\right)\left(V_{\text{OS}}+I_{\text{B-}}\left(R_{\text{F}}\parallel R_{1}\right)\right).}$

オフセットに関する注意: この回路のバリエーションでは、単に の代わりに調整可能な電圧源を使用します。また、オフセット電圧が非常に低いオペアンプの中には、オフセット補正を必要としないものもあります。^[5]オフセット補正は、特に BJT タイプの古いオペアンプでは大きな問題です。AC 信号のみに機能するオフセット補正を回避する別のバリ​​エーション回路は、入力を大きな入力コンデンサで容量結合し、その前に自然にオフセット電圧まで充電することです。さらに、オフセットは時間や温度によってドリフトする可能性があるため、一部のオペアンプではヌル オフセット ピンが提供されています。このピンは、ワイパーが負電源に接続されるポテンショメータに接続して、条件が変わったときに再調整することができます。これらの方法は組み合わせることができます。^[4]${\displaystyle R_{\text{om}}}$${\displaystyle R_{1}}$

理想的な積分器と実際の積分器はどちらも、ユニティゲイン周波数と呼ばれる単一の周波数でゲインが 1 になります。 ${\displaystyle f_{\text{0dB}}}$

${\displaystyle f_{\text{0dB}}={\frac {1}{{2\pi }{R_{\text{1}}}{C_{\text{F}}}}}\,.}$

しかし、2 つの回路の全体的な周波数応答は、極の位置が異なるため異なります。

理想的な積分器の伝達関数は 、ラプラス変換の時間領域積分特性に対応します。その分母はちょうど なので、伝達関数の極周波数は です。したがって、その周波数応答はすべての周波数にわたって 10 倍あたり -20 dB の安定した傾斜を持ち、ボード線図では下向きの傾斜線として表示されます。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{s}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f{=}0}$

実際の積分器のフィードバック抵抗器をフィードバックコンデンサと並列に接続すると、回路は -3 dBカットオフ周波数に極を持つアクティブローパスフィルタになります。 ${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle C_{\text{F}}}$

${\displaystyle f_{\text{cutoff}}={\frac {1}{{2\pi }{R_{\text{F}}}{C_{\text{F}}}}}\,.}$

周波数応答は まで比較的一定のゲインを持ち、その後 1 ディケードあたり 20 dB 減少します。この回路は 付近および 未満の低周波数ではもはや積分器ではありませんが、誤差は 1 ディケード上でわずか 0.5% に減少し、応答は周波数が増加するにつれて理想的な積分器の応答に近づきます。^[3]実際のオペアンプには、追加の高周波ポールを追加する限られたゲイン帯域幅積 (GBWP) もあります。積分は 1 ディケードあたり -20 dB の傾斜に沿ってのみ行われ、これはオペアンプの GBWP より約 1ディケード高い周波数から約 1 ディケード低い周波数までのみ安定しています。 ^[5]${\displaystyle f_{\text{cutoff}}}$${\displaystyle f_{\text{cutoff}}}$${\displaystyle f_{\text{cutoff}}}$${\displaystyle f_{\text{cutoff}}}$