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抽象代数学において、アビヤンカール予想は、1957年にシュリーラム・アビヤンカールが提唱した、特性pの代数関数体のガロア群に関する予想である。[1]解決可能なケースは1990年にセールによって解決され[2]、完全な予想は1994年にミシェル・レイノーとデイヴィッド・ハーバターの研究によって証明された。[3] [4] [5]
声明
この問題には、有限群 G、素数 p、および特性pの代数閉体K上に定義された非特異積分代数曲線Cの関数体 K(C)が含まれます。
この問題は、ガロア群Gを持ち、指定された分岐を持つK ( C )のガロア拡大 Lの存在を問うものである。幾何学的観点から、L は別の曲線C ′に対応し、射
- π: C ′ → C .
幾何学的には、π がC上の点の有限集合Sで分岐するという主張は、 CにおけるS の補集合に制限された π がエタール写像であることを意味します。これは、リーマン面の場合と類似しています。Abhyankar の予想では、Sは固定されており、問題はG が何であるかです。したがって、これは特殊なタイプの逆ガロア問題です。
結果
部分群p ( G ) は、素数pに対してGのすべてのシロー部分群によって生成される部分群として定義されます。これは正規部分群であり、パラメータnは 、
- G / p ( G ) です。
レイノーは、 C がK上の射影直線である場合を証明した。予想は、G がLのガロア群として実現され、Sの外側で非分岐でs + 1 個の点を含むことが、次の条件を満たす場合に限って可能であると 述べている。
- n≤sです。
一般的なケースはハーバターによって証明されており、gはCの種数であり、Gが実現できるのは
- n≤s + 2gです。
参考文献
- ^ Abhyankar、Shreeram (1957)、「Coverings of Algebraic Curves」、American Journal of Mathematics、79 (4): 825–856、doi :10.2307/2372438。
- ^ Serre、Jean-Pierre (1990)、「Construction de revêtements étales de la droite affine en caractéristique p」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I (フランス語)、311 (6): 341–346、Zbl 0726.14021
- ^ Raynaud, Michel (1994)、「Revêtements de la droite affine en caractéristique p > 0」、Inventiones Mathematicae、116 (1): 425–462、Bibcode :1994InMat.116..425R、doi :10.1007/BF01231568、Zbl 0798.14013。
- ^ Harbater、David (1994)、「曲線上のガロア群に関する Abhyankar の予想」、Inventiones Mathematicae、117 (1): 1–25、Bibcode :1994InMat.117....1H、doi :10.1007/BF01232232、Zbl 0805.14014。
- ^ フリード、マイケル D. Jarden、Moshe (2008)、フィールド算術、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 11 (第 3 版)、Springer-Verlag、p. 70、ISBN 978-3-540-77269-9、Zbl 1145.12001
外部リンク
- Weisstein, Eric W.「Abhyankar の予想」。MathWorld。
- パーデュー大学からのアビヤンカールの推測に対する素人の視点