運動量中心座標系

物理学において、系の運動量中心系（COM 系）、またはゼロ運動量系とも呼ばれるものは、系の全運動量がゼロになる慣性系です。速度を除いて一意ですが、原点ではありません。系の運動量中心は位置ではなく、相対運動量/速度の集合、つまり基準系です。したがって、「運動量中心」は「運動量中心系」の略です。^{[ 1 ]}

運動量中心座標系の特殊なケースとして、質量中心座標系があります。これは、質量中心（単一の点）が原点に留まる慣性座標系です。すべての運動量中心座標系において、質量中心は静止していますが、必ずしも座標系の原点にあるとは限りません。特殊相対性理論では、系が孤立している場合に限り、質量中心座標系は必ず一意になります。

このフレームの使用例を以下に示します。これは、必ずしも弾性衝突ではない（運動エネルギーが保存される）2体衝突の場合です。COMフレームを使用すると、測定または計算が行われる実験室フレームよりもはるかに簡単に粒子の運動量を求めることができます。この状況は、質量m _{1とm 2}の₂つの粒子がそれぞれ初期速度u ₁とu ₂で（衝突前に）運動する場合について、ガリレオ変換と運動量保存則（運動エネルギーだけではなく、一般性を保つため）を使用して分析されます。変換は、実験室フレーム（プライムなしの量）からCOMフレーム（プライム付きの量）への各粒子の速度からフレームの速度を取得するために適用されます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} ,}$

ここで、Vは COM フレームの速度です。V は COM の速度、つまり COM 位置 R (システムの重心の位置) の時間微分なので、次のようになります。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

したがって、COMフレームの原点では、R' = 0となり、これは次のことを意味します。

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

同じ結果は、運動量p ₁とp ₂を実験室系で運動量保存則を適用することによっても得られる。

${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

そして、粒子p ₁ ′ とp ₂ ′の全運動量がゼロになることが明確に主張されている重心系では、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}.}$

COM座標系の方程式を用いてVを求めると、上記の実験室座標系の方程式が得られ、粒子の運動量を計算するために任意の座標系（COM座標系を含む）を使用できることが示されます。上記の座標系を用いることでCOM座標系の速度を計算から除去できることが確認されているため、COM座標系における粒子の運動量は、実験室座標系における量（すなわち、与えられた初期値）で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}.}$

実験室系における粒子1と粒子2の相対速度は、

${\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}$

そして2体換算質量は

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

そのため、粒子の運動量はコンパクトに縮小され、

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} .}$

これは、両粒子の運動量を計算するよりかなり簡単な方法です。換算質量と相対速度は、実験室系における初期速度と質量から計算でき、一方の粒子の運動量は、もう一方の粒子の運動量の負の値になります。衝突後も速度は上記の式を満たすため、初期速度u ₁とu ₂の代わりに最終速度v ₁とv _{2に対して計算を繰り返すことができます。} ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

つまり、COMフレームの原点ではR = 0となり、これは衝突後に

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

実験室系における運動量保存の法則は、以下のように完全に表される。

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }$

この方程式は、

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }$

その代わりに、それは単に、全質量Mに重心の速度Vを掛けたものが、システムの全運動量Pであることを示している。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}$

上記と同様の分析結果が得られる。

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} ,}$

ここで、実験室系における粒子1と粒子2の最終的な相対速度は

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}$

• 実験室の参照枠
• ブライトフレーム