虫のような鎖

ポリマー物理学におけるワーム状鎖( WLC ) モデルは、半柔軟性ポリマーの挙動を説明するために使用されます。半柔軟性ポリマーは、連続するセグメントがほぼ同じ方向を向いており、持続長がポリマー長の数桁以内である、かなり硬いポリマーです。WLC モデルは、Kratky – Porodモデルの連続バージョンです。

WLCモデルは、連続的に柔軟な等方性ロッドを想定しています。^{[1] [2] [3]}これは、離散的に自由にヒンジされたセグメント間でのみ柔軟である自由結合チェーンモデルとは対照的です。このモデルは、連続するセグメントが一種の協同性を示し、近くのセグメントが大まかに整列している、より硬いポリマーを説明するのに特に適してい ます。室温では、ポリマーは滑らかに曲がった構造をとり、Kでは、ポリマーは硬いロッド構造をとります。^[1]${\displaystyle T=0}$

最大長 のポリマーの場合、ポリマーの経路を としてパラメータ化します。を点 における鎖の単位接線ベクトルとし、を鎖に沿った位置ベクトルとします (右図を参照)。すると、次のようになります。 ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle s\in (0,L_{0})}$${\displaystyle {\hat {t}}(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\vec {r}}(s)}$

${\displaystyle {\hat {t}}(s)\equiv {\frac {\partial {\vec {r}}(s)}{\partial s}}}$エンドツーエンドの距離[ ^1]${\displaystyle {\vec {R}}=\int _{0}^{L_{0}}{\hat {t}}(s)ds}$

ポリマーの曲げに関連するエネルギーは次のように表すことができます。

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}k_{B}T\int _{0}^{L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}(s)}{\partial s^{2}}}\right)^{2}ds}$

ここで、はポリマーの特性持続長、はボルツマン定数、 は絶対温度です。有限温度では、ポリマーの端から端までの距離は最大長よりも大幅に短くなります。これは熱変動によって発生し、その結果、乱されていないポリマーはコイル状のランダムな構成になります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L_{0}}$

ポリマーの配向相関関数を解くと、減衰定数1/Pの指数関数的減衰に従う。 ^{[1] [3]}

${\displaystyle \langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(0)\rangle =\langle \cos \;\theta (s)\rangle =e^{-s/P}\,}$

有用な値はポリマーの端から端までの平均二乗距離である：^{[1] [3]}

${\displaystyle \langle R^{2}\rangle =\langle {\vec {R}}\cdot {\vec {R}}\rangle =\left\langle \int _{0}^{L_{0}}{\hat {t}}(s)ds\cdot \int _{0}^{L_{0}}{\hat {t}}(s')ds'\right\rangle =\int _{0}^{L_{0}}ds\int _{0}^{L_{0}}\langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(s')\rangle ds'=\int _{0}^{L_{0}}ds\int _{0}^{L_{0}}e^{-\left|s-s'\right|/P}ds'}$

${\displaystyle \langle R^{2}\rangle =2PL_{0}\left[1-{\frac {P}{L_{0}}}\left(1-e^{-L_{0}/P}\right)\right]}$

の極限では、 となることに注意してください。これは、クーンセグメントがワーム状鎖の持続長の2倍に等しいことを示すために使用できます。 の極限では、 となり、ポリマーは剛体ロッド挙動を示します。^[2]右の図は、持続長が増加するにつれて、柔軟な挙動から硬い挙動へとクロスオーバーすることを示しています。 ${\displaystyle L_{0}\gg P}$${\displaystyle \langle R^{2}\rangle =2PL_{0}}$${\displaystyle L_{0}\ll P}$${\displaystyle \langle R^{2}\rangle =L_{0}^{2}}$

ラムダファージDNAの伸張に関する実験データが右に示されており、力の測定値はDNAに付着したビーズのブラウン運動の解析によって決定されている。実線で示されるモデルでは、持続長51.35nm、輪郭長1560.9nmが使用された。^[4]

ワームのような鎖として効果的にモデル化できる他の生物学的に重要なポリマーには、次のものがあります。

• 二本鎖DNA（持続長40-50nm）とRNA（持続長64nm）^{[3] [5]}
• 一本鎖DNA（持続長4nm） ^[6]
• 非構造化RNA（持続長2nm）^[7]
• 非構造タンパク質（持続長0.6-0.7nm）^[8]
• 微小管（持続長0.52cm）^[9]
• 糸状バクテリオファージ^[10]

伸張すると、熱変動のアクセス可能なスペクトルが減少し、外部伸張に逆らうエントロピー力が発生します。このエントロピー力は、ポリマーの全エネルギーを考慮することで推定できます。

${\displaystyle H=H_{\rm {elastic}}+H_{\rm {external}}={\frac {1}{2}}k_{B}T\int _{0}^{L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}(s)}{\partial s^{2}}}\right)^{2}ds-xF}$。

ここで、輪郭長は、持続長は、延長は、外力は で表されます。 ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$

原子間力顕微鏡（AFM）や光ピンセットなどの実験ツールは、生物学的ポリマーの力依存伸張挙動を特徴付けるために使用されてきた。力伸張挙動を約15％の相対誤差で近似する補間式は次の通りである：^[11]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}}$

力伸長挙動のより正確な近似値は、相対誤差が約0.01%である：^[4]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}+\sum _{i=2}^{i=7}\alpha _{i}\left({\frac {x}{L_{0}}}\right)^{i}}$、

と、、、、、。 ${\displaystyle \alpha _{2}=-0.5164228}$${\displaystyle \alpha _{3}=-2.737418}$${\displaystyle \alpha _{4}=16.07497}$${\displaystyle \alpha _{5}=-38.87607}$${\displaystyle \alpha _{6}=39.49944}$${\displaystyle \alpha _{7}=-14.17718}$

力伸長挙動を約1%の相対誤差で近似した単純で正確な式は次の通りである: ^[12]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}-0.8\left({\frac {x}{L_{0}}}\right)^{2.15}}$

伸張力挙動の近似値は約1%の相対誤差で報告されている: ^[12]

${\displaystyle {\frac {x}{L_{0}}}={\frac {4}{3}}-{\frac {4}{3{\sqrt {{\frac {FP}{k_{B}T}}+1}}}}-{\frac {10e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}}{{\sqrt {\frac {FP}{k_{B}T}}}\left(e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}-1\right)^{2}}}+{\frac {\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{1.62}}{3.55+3.8\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{2.2}}}}$

伸長による弾性応答は無視できません。ポリマーは外力によって伸びます。このエンタルピーコンプライアンスは材料パラメータで考慮され、システムは著しく伸長したポリマーに対して次のハミルトニアンを生成します。 ${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle H=H_{\rm {elastic}}+H_{\rm {enthalpic}}+H_{\rm {external}}={\frac {1}{2}}k_{B}T\int _{0}^{L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}(s)}{\partial s^{2}}}\right)^{2}ds+{\frac {1}{2}}{\frac {K_{0}}{L_{0}}}x^{2}-xF}$、

この式には、ポリマーの立体配座の変化を表すエントロピー項と、外力によるポリマーの伸張を表すエンタルピー項の両方が含まれています。加えられた外力に応じて、力-伸張挙動の近似値がいくつか提案されています。これらの近似値は、生理的条件（中性pH付近、イオン強度約100 mM、室温）で伸張係数が約1000 pNのDNAを伸張するために作成されています。^{[13] [14]}

低力領域（F<約10 pN）では、次の補間式が導出された。^[15]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}}$。

ポリマーが大幅に伸びた高力領域では、次の近似が有効です。^[16]

${\displaystyle x=L_{0}\left(1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {k_{B}T}{FP}}\right)^{1/2}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)}$。

延長しない場合については、より正確な式が導き出された: ^[4]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-l\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+l+\sum _{i=2}^{i=7}\alpha _{i}\left(l\right)^{i}}$、

係数は、弾性のないWLCモデルの上記の式と同じです。 ${\displaystyle l={\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

伸長可能なワーム状鎖モデルの力-伸長および伸長-力挙動の正確で単純な補間式は次の通りである: ^[12]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}-0.8\left({\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{2.15}}$

${\displaystyle {\frac {x}{L_{0}}}={\frac {4}{3}}-{\frac {4}{3{\sqrt {{\frac {FP}{k_{B}T}}+1}}}}-{\frac {10e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}}{{\sqrt {\frac {FP}{k_{B}T}}}\left(e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}-1\right)^{2}}}+{\frac {\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{1.62}}{3.55+3.8\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{2.2}}}+{\frac {F}{K_{0}}}}$

• 理想的なチェーン
• ポリマー
• 高分子物理学

• クラッキー、O. ;ポロッド、G. (1949)。 「レントゲヌンタースチュング・ゲロスター・ファーデンモレキュレ」。Recueil des Travaux Chimiques des Pays-Bas。68 (12): 1106–1123。土井：10.1002/recl.19490681203。
• Marko, JF; Siggia, ED (1995). 「DNAの伸張」. Macromolecules . 28 (26): 8759–8770. Bibcode :1995MaMol..28.8759M. doi :10.1021/ma00130a008.
• Bustamante, C.; Marko, JF; Siggia, ED; Smith, S. (1994). 「ラムダファージ DNA のエントロピー弾性」. Science . 265 (5178): 1599–1600. Bibcode :1994Sci...265.1599B. doi : 10.1126/science.8079175 . PMID  8079175.
• Wang, MD; Yin, H.; Landick, R.; Gelles, J.; Block, SM (1997). 「光ピンセットによる DNA の伸張」. Biophysical Journal . 72 (3): 1335–1346. Bibcode :1997BpJ....72.1335W. doi :10.1016/S0006-3495(97)78780-0. PMC  1184516. PMID  9138579 .
• C. Bouchiat 他、「力伸長測定によるワーム状鎖分子の持続長の推定」、Biophysical Journal、1999 年 1 月、p. 409-413、第 76 巻、第 1 号