ウィットの定理

「ウィットの定理」または「ウィットの定理」は、順序理論のブルバキ-ウィットの不動点定理を指す場合もあります。

数学において、エルンスト・ヴィットにちなんで名付けられたウィットの定理は、二次形式の代数理論における基本的な結果である。つまり、体k上の非特異二次空間の2 つの部分空間間の任意の等長変換は、空間全体の等長変換に拡張できる。任意の体上の歪対称、エルミート、歪エルミート双線型形式についても同様のことが言える。この定理はk上の二次形式の分類に適用され、特に、体k上の二次形式の「安定した」理論を記述するウィット群W ( k ) を定義することができる。

( V , b ) を、非退化対称または歪対称双線型形式を伴う、2 とは異なる特性を持つ体k上の有限次元 ベクトル空間とする。f : U → U' が V の 2 つの部分空間間の等長変換である場合 、fはVの等長変換に拡張されます。^[1]

ウィットの定理は、 Vの最大完全等方性部分空間（零空間）の次元が不変量であり、指数またはbのウィット指数[ 2^][3]、さらに( V、 b )の等長変換群は集合に対して推移的に作用する表現理論簡約双対の理論において重要な役割を果たしている。

( V , q )、( V ₁ , q ₁ )、( V ₂ , q ₂ )を体k上の3つの2次空間とする。

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q).}$

すると二次空間( V ₁ , q ₁ )と( V ₂ , q ₂ )は等長になる。

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\simeq (V_{2},q_{2})。}$

言い換えれば、二次空間間の同型の両辺に現れる直和項( V、q )は「キャンセル」される可能性がある。

( V , q )を体k上の2次空間とする。このとき、ウィット分解が可能である。

${\displaystyle (V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_{a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),}$

ここで、V ₀ = ker qはqの根号、( V _a , q _a )は異方性二次空間、( V _h , q _h )は分割二次空間である。さらに、異方性加数（コア形式と呼ばれる）と、 ( V、q )のウィット分解における双曲加数は、同型性を除いて一意に決定される。^[4]

同じ核形式を持つ二次形式は、相似またはウィット同値であると言われます。

• エミール・アルティン(1957) 幾何代数、121 ページ、インターネット アーカイブより
• ラム・ツィット・ユエン（2005）「体上の二次形式入門」、大学院数学研究、第67巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1095-2、MR  2104929、Zbl  1068.11023
• ローレンツ、ファルコ (2008)、代数学。第 2 巻: 構造を持つ体、代数、および高度なトピック、Springer-Verlag、pp. 15–27、ISBN 978-0-387-72487-4、Zbl  1130.12001
• ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-72828-5
• O'Meara、O. Timothy (1973)、二次形式入門、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 117、シュプリンガーフェルラーク、Zbl  0259.10018