歪んだシュワルツシルト計量

物理学において、歪んだシュワルツシルト計量は、外部場にさらされた標準/孤立シュワルツシルト時空の計量である。数値シミュレーションでは、シュワルツシルト計量は、ほぼ任意の種類の外部エネルギー運動量分布によって歪められる可能性がある。しかし、厳密な解析では、標準シュワルツシルト計量を歪める成熟した方法は、ワイル計量の枠組みに限定されている。

アインシュタイン-マクスウェル方程式のすべての静的軸対称解はワイル計量の形で表すことができる。^[1]

${\displaystyle (1)\quad ds^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}dt^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}(d\rho ^{2}+dz^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$

ワイルの観点からは、標準シュワルツシルト解を生成する計量ポテンシャルは^{[1] [2]で与えられる。}

${\displaystyle (2)\quad \psi _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L-M}{L+M}}\,,\quad \gamma _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-M^{2}}{l_{+}l_{-}}}\,,}$

どこ

${\displaystyle (3)\quad L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+(z+M)^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+(z-M)^{2}}}\,,}$

これはワイルの標準座標におけるシュワルツシルト計量を与え、

${\displaystyle (4)\quad ds^{2}=-{\frac {L-M}{L+M}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+{\frac {L+M}{L-M}}\,\rho ^{2}d\phi ^{2}\,.}$

真空ワイル時空（シュワルツシルトなど）は、以下の場の方程式に従う。^{[1] [2]}

${\displaystyle (5.a)\quad \nabla ^{2}\psi =0\,,}$

${\displaystyle (5.b)\quad \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}\,,}$

${\displaystyle (5.c)\quad \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}\,,}$

${\displaystyle (5.d)\quad \gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}=-{\big (}\psi _{,\,\rho }^{2}+\psi _{,\,z}^{2}{\big )}\,,}$

ここで はラプラス演算子です。 ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$

真空場方程式の導出。真空のアインシュタイン方程式は となり、式(5.a)-(5.c)が得られる。 ${\displaystyle R_{ab}=0}$

さらに、補足関係は式(5.d)を意味します。導出終了。 ${\displaystyle R=0}$

式(5.a)は線形 ラプラス方程式である。つまり、与えられた解の線形結合は依然としてその解である。式(5.a)の2つの解が与えられた場合、次の式で新しい解を構築することができる 。${\displaystyle \{\psi ^{\langle 1\rangle },\psi ^{\langle 2\rangle }\}}$

${\displaystyle (6)\quad {\tilde {\psi }}\,=\,\psi ^{\langle 1\rangle }+\psi ^{\langle 2\rangle }\,,}$

そして他の計量ポテンシャルは次のように得られる。

${\displaystyle (7)\quad {\tilde {\gamma }}\,=\,\gamma ^{\langle 1\rangle }+\gamma ^{\langle 2\rangle }+2\int \rho \,{\Big \{}\,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,\rho }^{\langle 2\rangle }-\psi _{,\,z}^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,z}^{\langle 2\rangle }{\Big )}\,d\rho +{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,z}^{\langle 2\rangle }+\psi _{,\,z}^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,\rho }^{\langle 2\rangle }{\Big )}\,dz\,{\Big \}}\,.}$

と とし、 とはワイル計量ポテンシャルの2番目の集合を指す。すると、式(6)(7)によって構築された は、重ね合わせたシュワルツシルト・ワイル計量 ${\displaystyle \psi ^{\langle 1\rangle }=\psi _{SS}}$${\displaystyle \gamma ^{\langle 1\rangle }=\gamma _{SS}}$${\displaystyle \psi ^{\langle 2\rangle }=\psi }$${\displaystyle \gamma ^{\langle 2\rangle }=\gamma }$${\displaystyle \{{\tilde {\psi }},{\tilde {\gamma }}\}}$

${\displaystyle (8)\quad ds^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}{\frac {L-M}{L+M}}dt^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}{\frac {L+M}{L-M}}\,\rho ^{2}d\phi ^{2}\,.}$

変換^[2]

${\displaystyle (9)\quad L+M=r\,,\quad l_{+}+l_{-}=2M\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,}$

${\displaystyle \;\;\quad \rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-M^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

通常の座標で重ね合わせたシュワルツシルト計量を得ることができる。 ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

${\displaystyle (10)\quad ds^{2}=-e^{2\psi (r,\theta )}\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,dt^{2}+e^{2\gamma (r,\theta )-2\psi (r,\theta )}{\Big \{}\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\,{\Big \}}+e^{-2\psi (r,\theta )}r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$

重ね合わせた計量式(10)は、外部ワイル源によって歪んだ標準シュワルツシルト計量とみなすことができる。歪みポテンシャルがない場合、式(10)は標準シュワルツシルト計量に簡約される。 ${\displaystyle \{\psi (\rho ,z)=0,\gamma (\rho ,z)=0\}}$

${\displaystyle (11)\quad ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$

球座標におけるワイル計量の正確な真空解と同様に、式(10)の級数解も得られる。式(10)の歪みポテンシャルは、多極展開^{[3]で与えられる。}${\displaystyle \psi (r,\theta )}$

${\displaystyle (12)\quad \psi (r,\theta )\,=-\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}{\Big (}{\frac {R_{n}(\cos \theta )}{M}}{\Big )}P_{i}}$と${\displaystyle R:={\Big [}{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}r^{2}+M^{2}\cos ^{2}\theta {\Big ]}^{1/2}}$

どこ

${\displaystyle (13)\quad P_{i}:=p_{i}{\Big (}{\frac {(r-m)\cos \theta }{R}}{\Big )}}$

はルジャンドル多項式を表し 、多重極係数である。他のポテンシャルは ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$

${\displaystyle (14)\quad \gamma (r,\theta )\,=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}a_{j}}$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {ij}{i+j}}{\Big )}}$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {R}{M}}{\Big )}^{i+j}}$${\displaystyle (P_{i}P_{j}-P_{i-1}P_{j-1})}$${\displaystyle -{\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\sum _{j=0}^{i-1}}$ ${\displaystyle {\Big [}(-1)^{i+j}(r-M(1-\cos \theta ))+r-M(1+\cos \theta ){\Big ]}}$${\displaystyle {\Big (}{\frac {R}{M}}{\Big )}^{j}P_{j}\,.}$

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