王代数

代数学とネットワーク理論において、王代数は、体または（より一般的には）可換単 位環上の可換代数であり、2つの追加特性を持ちます：（規則i）の すべての元xに対して、x + x = 0（次数1の普遍加法的冪零性）。 （規則ii）のすべての元xに対して、x ⋅ x = 0（次数1の普遍乗法的冪零性）。^{[1] [2]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$

規則 (i) と (ii) は、もともと 1934 年に KT Wang (Wang Ki-Tung、王季同) によって電気ネットワークを解析する方法の一部として発表されました。^[3] 1935 年から 1940 年にかけて、数人の中国の電気工学研究者がこの方法に関する論文を発表しました。元の Wang 代数は、2 を法とする有限体上のグラスマン代数です。^{[1] 1950 年 12 月 27 日から 29 日に開催された}アメリカ数学会の第 57 回年次総会で、ラウル・ボットとリチャード・ダフィンは、概要 (番号 144 t ) 「ネットワークの Wang 代数」で Wang 代数の概念を紹介しました。彼らは、王代数を2を法とするグラスマン代数の特定の型として解釈しました。^[4] 1969年に、ワイカイ・チェンは、王代数の定式化を使用して、グラフのツリーを生成するためのいくつかの異なる手法を統一しました。^[5]王代数の定式化は、キング-アルトマン有向グラフパターンを体系的に生成するために使用されてきました。このようなパターンは、酵素反応速度論の速度方程式を導出するのに役立ちます。^[6]

中国科学院自然科学史研究所の郭金海教授によると、王基同の電気ネットワーク解析の先駆的な方法は、中国だけでなく世界の電気工学を大きく促進した。王代数の定式化は、電気ネットワークにおいて、位相的方法、グラフ理論、ハミルトン閉路を含む問題を解決するのに役立つ。^[7]

グラフGのすべての全域木を見つけるためのWangルール^[8]

1. 各ノードについて、そのノードに一致するすべてのエッジ ラベルの合計を書き込みます。
2. 1 つのノードを除外し、残りのすべてのノードのラベルの合計の積を取得します。
3. 2. の積を Wang 代数を使用して展開します。
4. 3. で得られた展開の合計の項は、グラフ内の全域木と 1 対 1 に対応しています。