ウォリス製品

ウォリス積はπの無限積表現である。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}}$

1656年にジョン・ウォリスによって出版された。^[1]

ウォリスは補間法を使ってこの無限積を導出したが、彼の方法は厳密であるとは考えられていない。の偶数値と奇数値を調べ、 が大きい場合、 が 1 増加すると が増加するにつれて変化が小さくなることに注目することで、現代的な導出を見つけることができる。^[2]${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx.}$

(これはウォリスの積分の一種です。)部分積分します。

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sin ^{n-1}x\\\Rightarrow du&=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\dv&=\sin x\,dx\\\Rightarrow v&=-\cos x\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow I(n)&=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=-\sin ^{n-1}x\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }(-\cos x)(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\[6pt]{}&=0+(n-1)\int _{0}^{\pi }\ cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,dx,\qquad n>1\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}x\,dx-(n -1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)I(n-2)-(n-1) I(n)\\[6pt]{}&={\frac {n-1}{n}}I(n-2)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {I(n)}{I( n-2)}}&={\frac {n-1}{n}}\\[6pt]\end{aligned}}}$

ここで、便宜上、2 つの変数を置換して次の結果を得ます。

${\displaystyle I(2n)={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)}$

${\displaystyle I(2n+1)={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)}$

後で使用するために、 との値を取得します。 ${\displaystyle I(0)}$${\displaystyle I(1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I(0)&=\int _{0}^{\pi }dx=x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=\pi \\[6pt]I(1)&=\int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\[6pt]\end{aligned}}}$

ここで、部分積分から得られた漸化式の結果を繰り返し適用して、偶数値 を計算します。最終的には、計算した に到達します。${\displaystyle I(2n)}$${\displaystyle I(0)}$

${\displaystyle I(2n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n}x\,dx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={ \frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)}$

${\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}}$

奇数値に対してこのプロセスを繰り返すと、 ${\displaystyle I(2n+1)}$

${\displaystyle I(2n+1)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n- 1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)}$

${\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}}$

私たちは、以下の事実に基づいて、次のような観察をします。${\displaystyle \sin {x}\leq 1}$

${\displaystyle \sin^{2n+1}x\leq \sin^{2n}x\leq \sin^{2n-1}x,0\leq x\leq \pi }$

${\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)}$

割り算： ${\displaystyle I(2n+1)}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\leq {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}}$ここで、等式は再帰関係から来ています。

スクイーズ定理によれば、

${\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots }$

ガウス積分のメインページを参照してください。

上記の証明は現代の微積分の教科書によく登場しますが、振り返ってみると、ウォリス積は、後の正弦関数のオイラー無限積の簡単な系です。

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

させて： ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}}$   ^[1]

スターリングの階乗関数の近似は、 ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left[1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right].}$

ここで、積の 最初の項を取って得られるウォリス積の有限近似を考えてみましょう。${\displaystyle k}$

${\displaystyle p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {2n}{2n-1}}{\frac {2n}{2n+1}},}$

ここで次のように書くことができる。 ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}&={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{[(2n)(2n-1)]^{2}}}\\[6pt]&={1 \over {2k+1}}\cdot {{2^{4k}\,(k!)^{4}} \over {[(2k)!]^{2}}}.\end{aligned}}}$

この式にスターリング近似を代入すると（と の両方について）、 がのときに に収束することが（簡単な計算で）わかります。 ${\displaystyle k!}$${\displaystyle (2k)!}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

リーマンゼータ関数とディリクレエータ関数は次のように定義される: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\Re (s)>1\\[6pt]\eta (s)&=(1-2^{1-s})\zeta (s)\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}},\Re (s)>0\end{aligned}}}$

後者の級数にオイラー変換を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (s)&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\\[6pt]\Rightarrow \eta '(s)&=(1-2^{1-s})\zeta '(s)+2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {\ln n}{n^{s}}}-{\frac {\ln(n+1)}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \eta '(0)&=-\zeta '(0)-\ln 2=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln(n+1)\right]\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ln {\frac {n}{n+1}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {1}{2}}-\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {3}{4}}-\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {5}{6}}-\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {2}{1}}+\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {4}{3}}+\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {6}{5}}+\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{2}}\\\Rightarrow \zeta '(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)\end{aligned}}}$

• ジョン・ウォリスは、微分積分学と円周率の開発に部分的に貢献したとされるイギリスの数学者です。
• ビエトの公式、 の別の無限積公式。${\displaystyle \pi }$
• πのライプニッツの公式。これはπの無限オイラー積に変換できる無限和です。
• ウォリスふるい
• ピッペンジャー積の公式は、ワリス積の項の根をとることによってeを取得します。

• 「ウォリスの公式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「なぜこの積はπ/2になるのか？ πのワリス公式の新しい証明。」3Blue1Brown 2018年4月20日。2021年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。