有権者モデル

数学的確率論において、投票者モデルは1975年にリチャード・A・ホリーとトーマス・M・リゲットによって導入された相互作用粒子システムである。 ^[1]

接続されたグラフの各ポイントに「投票者」がいると想像できます。接続は、投票者 (ノード) のペアの間に何らかの相互作用があることを示しています。特定の投票者の何らかの問題に関する意見は、近隣の投票者の意見の影響を受けてランダムに変化します。投票者の意見は、特定の時点で 0 と 1 の 2 つの値のいずれかになります。ランダムに、ランダムに個人が選択され、その投票者の意見は確率的ルールに従って変更されます。具体的には、選択された投票者の近隣の 1 人が、指定された一連の確率に従って選択され、その近隣の投票者の意見が選択された投票者に転送されます。

別の解釈は、空間的な紛争の観点からです。2 つの国が 0 または 1 とラベル付けされた領域 (ノードのセット) を制御しているとします。特定の場所で 0 から 1 に反転すると、他の国がその場所を侵略していることを示します。

毎回 1 つの反転のみが発生することに注意してください。投票者モデルに関連する問題は、合体 [ 明確化が必要 ] マルコフ連鎖の二重システム [ 明確化が必要 ] の観点から再構成されることがよくあります^。多くの場合、^{これらの問題}はその後、独立したマルコフ連鎖を含む他の問題に縮小されます。

投票者モデルは、状態空間と遷移率関数を持つ (連続時間) マルコフ過程です。ここで、 はd 次元整数格子であり、•,• は上の積位相においての関数として非負で一様に有界かつ連続であると仮定されます。各コンポーネントは構成と呼ばれます。明確にするために、 は構成 におけるサイト x の値を表し、 は時刻 における構成 におけるサイト x の値を表します。 ${\displaystyle \eta_{t}}$${\displaystyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$${\displaystyle c(x,\eta )}$${\displaystyle Z^{d}}$${\displaystyle c(}$${\displaystyle )}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \eta \in S}$${\displaystyle \eta (x)}$${\displaystyle \eta (.)}$${\displaystyle \eta_{t}(x)}$${\displaystyle \eta (.)}$${\displaystyle t}$

プロセスのダイナミクスは、遷移率の集合によって指定されます。投票者モデルの場合、 0 から 1 またはその逆への反転率は、サイトの関数によって与えられます。これには次の特性があります。 ${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle c(x,\eta )}$${\displaystyle x}$

1. ${\displaystyle c(x,\eta)=0}$あらゆる場合または場合${\displaystyle x\in Z^{d}}$${\displaystyle \eta \equiv 0}$${\displaystyle \eta \equiv 1}$
2. ${\displaystyle c(x,\eta )=c(x,\zeta )}$すべての場合${\displaystyle x\in Z^{d}}$${\displaystyle \eta (y)+\zeta (y)=1}$${\displaystyle y\in Z^{d}}$
3. ${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$もし、そして${\displaystyle \eta \leq \zeta }$${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$
4. ${\displaystyle c(x,\eta )}$シフトに対して不変である${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$

性質(1)は、およびが発展の不動点であることを示しています。(2)は、0と1の役割を入れ替えても発展は変わらないことを示しています。性質(3)では、はを意味し、 であればを意味し、 であればを意味します。 ${\displaystyle \eta \equiv 0}$${\displaystyle \eta \equiv 1}$${\displaystyle \eta \leq \zeta }$${\displaystyle \forall x,\eta (x)\leq \zeta (x)}$${\displaystyle \eta \leq \zeta }$${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$${\displaystyle c(x,\eta )\geq c(x,\zeta )}$${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=1}$

の関心は、モデルの限界動作である。サイトの反転率はその近隣サイトに依存するため、すべてのサイトが同じ値を取ると、システム全体の変化が永久に停止することは明らかである。したがって、投票者モデルには、それぞれまたは上の質点とという、合意を表す 2 つの自明な極値定常分布がある。議論すべき主な問題は、均衡における異なる意見の共存を表す他の分布があるかどうかである。共存は、無限に多くの 0 と 1 を含む構成に集中する定常分布がある場合に発生すると言われている。一方、すべてのおよびすべての初期構成について、 ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{0}}$${\displaystyle \scriptstyle \delta _{1}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 0}$${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 1}$${\displaystyle \scriptstyle x,y\in Z^{d}}$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=0}$

クラスタリングが発生すると言われています。

クラスタリングをクラスターの概念と区別することが重要です。クラスターは、またはの接続されたコンポーネントとして定義されます。 ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$

このセクションでは、基本的な投票者モデルの 1 つである線形投票者モデルについて説明します。

•,•が上の既約ランダムウォークの遷移確率である場合、次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle p(}$${\displaystyle \scriptstyle )}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$

${\displaystyle p(x,y)\geq 0\quad {\text{and}}\sum _{y}p(x,y)=1}$

線形投票者モデルでは、遷移率は次の線形関数になります。 ${\displaystyle \scriptstyle \eta}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\sum _{y}p(x,y)\eta (y)\quad {\text{すべてに対して}}\quad \eta (x)=0\\\sum _{y}p(x,y)(1-\eta (y))\quad {\text{すべてに対して}}\quad \eta (x)=1\\\end{array}}\right.}$

あるいは、が反転が で発生することを示している場合、遷移率は単純に次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle \eta_{x}}$${\displaystyle \scriptstyle x}$

${\displaystyle \eta \rightarrow \eta _{x}\quad {\text{レート}}\sum _{y:\eta (y)\neq \eta (x)}p(x,y).}$

ランダム ウォークの合体プロセスは次のように定義されます。ここで は、時間 におけるこれらのランダム ウォークが占めるサイトの集合を表します。を定義するには、単位指数関数的な保持時間と遷移確率 • ,• を持つ 上の複数の (連続時間) ランダム ウォークを考え、そのうちの 2 つが出会うまでそれらを独立とします。出会ったとき、出会った 2 つは 1 つの粒子に合体し、遷移確率 •,•でランダム ウォークのように動き続けます 。 ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}\subset Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle t}$${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle p(}$${\displaystyle \scriptstyle )}$${\displaystyle \scriptstyle p(}$${\displaystyle \scriptstyle )}$

双対性の概念は、投票者モデルの動作を分析するために不可欠です。線形投票者モデルは、合体双対性と呼ばれる非常に便利な形式の双対性を満たしています。

${\displaystyle P^{\eta }(\eta _{t}\equiv 1\quad {\text{on }}A)=P^{A}(\eta (A_{t})\equiv 1),}$

ここで はの初期構成であり、 は合体ランダムウォークの初期状態です。 ${\displaystyle \scriptstyle \eta \in \{0,1\}^{Z^{d}}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$${\displaystyle \scriptstyle A=\{x\in Z^{d},\eta (x)=1\}\subset Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$

と上の既約ランダムウォークの遷移確率を とすると、このような線形投票者モデルの双対関係は次のように表される。${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)=p(0,x-y)}$${\displaystyle \scriptstyle \forall \eta \in S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]}$

ここで、およびは、、における（連続時間）ランダムウォークであり、は、時刻 におけるランダムウォークの位置です。およびは、セクション 2.1の最後で説明した合体ランダムウォークを形成します。 は対称化されたランダムウォークです。 が再帰的で、の場合、およびは最終的に確率 1 でヒットするため、 ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle X_{0}=x}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{0}=y}$${\displaystyle \scriptstyle \eta (X_{t})}$${\displaystyle \scriptstyle t}$${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]\leq P[X_{t}\neq Y_{t}]\rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\to 0}$

したがって、プロセスはクラスター化されます。

一方、 のとき 、システムは共存します。 の場合、は過渡的であるため、ランダムウォークがヒットしない確率が正であり、したがって の場合、${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$${\displaystyle \scriptstyle x\neq y}$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=C\lim _{t\rightarrow \infty }P[X_{t}\neq Y_{t}]>0}$

初期分布に対応する 定数。${\displaystyle C}$

が対称化されたランダムウォークである 場合、次の定理が存在します。${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}(t)=X(t)-Y(t)}$

定理2.1

線形投票モデルは、が再帰的である場合はクラスター化し、が一時的である場合は共存する。特に、 ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$

1. および の場合、またはおよび の場合、プロセスはクラスター化します。${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|p(0,x)\leq \infty }$${\displaystyle \scriptstyle d=2}$${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|^{2}p(0,x)\leq \infty }$
2. プロセスが共存する場合は、${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$

注: 次のセクションで説明する閾値投票モデルの動作とこれを対比すると、線形投票モデルがクラスター化するか共存するかは、相互作用の範囲のサイズではなく、サイト セットの次元にほぼ完全に依存していることに注意してください。

定理2.2 が状態空間上の任意の変換空間エルゴードかつ不変確率測度である とすると、 ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$${\displaystyle \scriptstyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$

1. が再帰的である場合、${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$
2. が一時的である場合、。${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \mu _{\rho }}$

ここで、 は の分布、は弱収束を意味し、は非自明な極値不変測度、 です。 ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)}$${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$${\displaystyle \scriptstyle \Rightarrow }$${\displaystyle \scriptstyle \mu _{\rho }}$${\displaystyle \scriptstyle \rho =\mu (\{\eta :\eta (x)=1\})}$

線形投票モデルの興味深い特殊なケースの1つは、基本線形投票モデルとして知られ、状態空間の場合です。 ${\displaystyle \scriptstyle \{0,1\}^{Z^{d}}}$

${\displaystyle p(x,y)={\begin{cases}1/2d&{\text{if }}|x-y|=1{\text{ and }}\eta (x)\neq \eta (y)\\[8pt]0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

となることによって

${\displaystyle \eta _{t}(x)\to 1-\eta _{t}(x)\quad {\text{at rate}}\quad (2d)^{-1}|\{y:|y-x|=1,\eta _{t}(y)\neq \eta _{t}(x)\}|}$

この場合、 の場合、プロセスはクラスター化しますが、 の場合、プロセスは共存します。この二分法は、の場合、上の単純ランダム ウォークが再帰的であり、 の場合、プロセスが一時的であるという事実と密接に関係しています。${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$

の特殊なケースでは、であり、各 に対して です。定理 2.2より、この場合にはクラスタリングが発生します。このセクションの目的は、このクラスタリングをより正確に記述することです。 ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle S=Z^{1}}$${\displaystyle \scriptstyle p(x,x+1)=p(x,x-1)={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}}$

前述のように、 のクラスターはまたはの連結成分として定義されます。の平均クラスター サイズは次のように定義されます。 ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta }$

${\displaystyle C(\eta )=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2n}{{\text{number of clusters in}}[-n,n]}}}$

ただし、制限が存在する場合。

命題2.3

投票者モデルが初期分布を持ち、並進不変確率測度であると仮定すると、 ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$${\displaystyle \scriptstyle \mu }$

${\displaystyle P\left(C(\eta )={\frac {1}{P[\eta _{t}(0)\neq \eta _{t}(1)]}}\right)=1.}$

基本的な線形投票モデルの占有時間関数を次のように定義します。

${\displaystyle T_{t}^{x}=\int _{0}^{t}\eta _{s}^{\rho }(x)\mathrm {d} s.}$

定理2.4

すべての地点xと時刻tに対して、 と仮定すると、の場合、ほぼ確実に、${\displaystyle \scriptstyle P(\eta _{t}(x)=1)=\rho }$${\displaystyle \scriptstyle t\rightarrow \infty }$${\displaystyle \scriptstyle T_{t}^{x}/t\rightarrow \rho }$ ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 2}$

証拠

チェビシェフの不等式とボレル-カンテリの補題により、以下の式が得られます。

${\displaystyle P\left({\frac {\rho }{r}}\leq \lim \inf _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \lim \sup _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \rho r\right)=1;\quad \forall r>1}$

とすると定理が成り立ちます。 ${\displaystyle \scriptstyle r\searrow 1}$

このセクションでは、しきい値投票モデルと呼ばれる非線形投票モデルの一種に焦点を当てます。これを定義するには、の任意のコンパクトで凸状の対称集合と交差することによって得られる の近傍を とします。言い換えると、はすべての反射に関して対称で既約な有限集合であると仮定します（つまり、それが生成するグループは です）。 は常にすべての単位ベクトル を含むと仮定できます。正の整数 の場合、近傍としきい値を持つしきい値投票モデルは、レート関数を持つモデルです。 ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle 0\in Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle R^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle (1,0,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)}$${\displaystyle \scriptstyle T}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle T}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if}}\quad |\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)\neq \eta (x)\}|\geq T\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

簡単に言うと、同じ値を取らないサイトの数がしきい値 T 以上の場合、サイトの遷移率は1 になります。それ以外の場合、サイトは現在の状態のままで、反転しません。 ${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle x}$

たとえば、 、 の場合、構成はプロセスにとって吸収状態またはトラップになります。 ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$${\displaystyle \scriptstyle T=2}$${\displaystyle \scriptstyle \dots 1\quad 1\quad 0\quad 0\quad 1\quad 1\quad 0\quad 0\dots }$

閾値投票者モデルが固定されない場合、プロセスは小さい閾値に対して共存し、大きい閾値に対してクラスター化すると予想されます。ここで、大きいと小さいは、近隣のサイズに相対的であると解釈されます。直感的には、閾値が小さいと反転が発生しやすくなるため、常に 0 と 1 の両方が多数存在する可能性が高くなります。次の 3 つの主要な結果があります。 ${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$

1. の場合、各サイトが有限の頻度でのみ反転するという意味でプロセスは固定されます。${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$
2. かつの場合、プロセスはクラスター化されます。${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$
3. 十分に小さい( )と十分に大きい場合、プロセスは共存します。${\displaystyle \scriptstyle T=\theta |{\mathcal {N}}|}$${\displaystyle \scriptstyle \theta }$${\displaystyle \scriptstyle \theta <{\frac {1}{4}}}$${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$

ここでは、性質(1)と(2)に対応する2つの定理を示します。

定理3.1

の場合、プロセスは固定されます。 ${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$

定理3.2

、クラスターを持つ 1 次元 ( )の閾値投票者モデル。 ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-T,\dots ,T\},T\geq 1}$

証拠

証明の考え方は、次の特性を持つ の 2 つのランダムな時間シーケンスを構築することです 。${\displaystyle \scriptstyle U_{n}}$${\displaystyle \scriptstyle V_{n}}$${\displaystyle \scriptstyle n\geq 1}$

1. ${\displaystyle \scriptstyle 0=V_{0}<U_{1}<V_{1}<U_{2}<V_{2}<\dots }$、
2. ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{k+1}-V_{k},k\geq 0\}}$iidwith は、${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (U_{k+1}-V_{k})<\infty }$
3. ${\displaystyle \scriptstyle \{V_{k}-U_{k},k\geq 1\}}$iidwith は、${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (V_{k}-U_{k})=\infty }$
4. (b)と(c)のランダム変数は互いに独立している。
5. イベント A= は上で一定であり、イベント A はすべての に対して成立します。${\displaystyle \scriptstyle \{\eta _{t}(.)}$${\displaystyle \scriptstyle \{-T,\dots ,T\}\}}$${\displaystyle \scriptstyle t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}]}$

この構造が作られると、再生理論から次のことが導かれます。

${\displaystyle P(A)\geq P(t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}])\to 1\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$

したがって、プロセスがクラスター化されることになります。 ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{t\rightarrow \infty }P(\eta _{t}(1)\neq \eta _{t}(0))=0}$

注意: (a) 高次元の閾値モデルは、 の場合に必ずしもクラスタリングされるわけではありません。たとえば、と を取ります。 が交互の垂直無限ストリップ上で定数である場合、 はすべて に対して次の式になります。 ${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle d=2,T=2}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$${\displaystyle \scriptstyle \eta }$${\displaystyle \scriptstyle i,j}$

${\displaystyle \eta (4i,j)=\eta (4i+1,j)=1,\quad \eta (4i+2,j)=\eta (4i+3,j)=0}$

そうすると、移行は発生せず、プロセスは固定されてしまいます。

(b)定理 3.2の仮定の下では、プロセスは固定されません。これを確認するには、無限個のゼロの後に無限個の 1 が続く初期構成を考えます。境界のゼロと 1 のみが反転できるため、境界が単純な対称ランダム ウォークのように動くことを除いて、構成は常に同じに見えます。このランダム ウォークが反復的であるという事実は、すべてのサイトが無限に頻繁に反転することを意味します。 ${\displaystyle \scriptstyle \dots 000111\dots }$

特性 3 は、閾値投票者モデルが線形投票者モデルとはまったく異なることを示しています。つまり、近傍が小さすぎない場合、1 つの次元でも共存が発生するということです。閾値モデルには「ローカル少数派」に向かう傾向があり、これは線形の場合には存在しません。

閾値投票モデルの共存の証明のほとんどは、パラメータ を持つ閾値接触プロセスと呼ばれるハイブリッド モデルとの比較に基づいています。これは、反転率 を持つ 上のプロセスです。${\displaystyle \scriptstyle \lambda >0}$${\displaystyle \scriptstyle [0,1]^{Z^{d}}}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\lambda \quad {\text{if}}\quad \eta (x)=0\quad {\text{and}}|\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)=1\}|\geq T;\\1\quad {\text{if}}\quad \eta (x)=1;\\0\quad {\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$

命題3.3

任意のおよびについて、 との閾値接触過程が非自明な不変測度を持つ場合、閾値投票者モデルが共存します。 ${\displaystyle \scriptstyle d,{\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle T}$${\displaystyle \scriptstyle \lambda =1}$

どのモデルが共存し、どのモデルがクラスター化されるかが正確にわかっている唯一のケースであるため、特に興味深い ケースです。${\displaystyle \scriptstyle T=1}$

特に、次のような閾値 T=1モデルが注目されています。 ${\displaystyle \scriptstyle c(x,\eta )}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if exists one}}\quad y\quad {\text{with}}\quad |x-y|\leq N\quad {\text{and}}\quad \eta (x)\neq \eta (y)\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \scriptstyle N}$は近傍の半径として解釈でき、近傍のサイズを決定します（つまり、の場合は であり、の場合は に対応する です）。 ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \scriptstyle N}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{1}=\{-2,-1,0,1,2\}}$${\displaystyle \scriptstyle N_{1}=2}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{2}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$${\displaystyle \scriptstyle N_{2}=1}$

定理 3.2により、とのモデルはクラスター化されます。次の定理は、との他のすべての選択に対して、モデルが共存することを示しています。 ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$${\displaystyle \scriptstyle d}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$

定理3.4

だが、 であると仮定します。その場合、 のしきい値モデルとパラメータが共存します。 ${\displaystyle \scriptstyle N\geq 1}$${\displaystyle \scriptstyle (N,d)\neq (1,1)}$${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle N}$

この定理の証明は、Thomas M. Liggett による「Coexistence in threshold voter models」という論文に記載されています。