ウリゾーンの補題

位相幾何学において、ウリゾーンの補題は、位相空間が正規であるための必要十分条件は、任意の2つの互いに素な閉部分集合が連続関数によって分離できることである。^[1]

ウリゾーンの補題は、正規空間上のさまざまな特性を持つ連続関数を構築するためによく使用されます。すべての距離空間とすべてのコンパクト ハウスドルフ空間は正規であるため、この補題は広く適用できます。この補題は、ティーツェの拡大定理によって一般化され、通常はティーツェの拡大定理の証明に使用されます。

この補題は数学者 パベル・サムイロヴィチ・ウリゾーンにちなんで名付けられました。

位相空間の2 つの部分集合とが近傍によって分離されていると言われるのは、との近傍が互いに素である場合です。特に、 と は必然的に互いに素です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

2 つの単純な部分集合と が連続関数によって分離されているとするのは、すべて に対してかつすべて に対してとなる、単位区間への連続関数が存在するときです。このような関数は、 および に対するUrysohn 関数と呼ばれます。特に、 と は必ず互いに素です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle f(b)=1}$${\displaystyle b\in B.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

したがって、2 つの部分集合とが関数によって分離されている場合、それらの閉包も分離されていることになります。また、2 つの部分集合とが関数によって分離されている場合、およびは近傍によって分離されていること になります。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

正規空間は、任意の 2 つの互いに交わらない閉集合を近傍によって分離できる位相空間です。ウリゾーンの補題は、任意の 2 つの互いに交わらない閉集合を連続関数によって分離できる場合にのみ、位相空間が正規空間であると述べています。

集合と はによって正確に分離される必要はありません。つまり、 と の外部でとであることが必須ではなく、保証もされていません。すべての 2 つの互いに素な閉部分集合と が連続関数 によって正確に分離される位相空間は、完全に正規 です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle \neq 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ウリゾーンの補題は、「チコノフ特性」や「完全ハウスドルフ空間」などの他の位相的性質の定式化につながりました。たとえば、補題の系として、通常のT ₁空間はチコノフである、というものがあります。

位相空間が正規空間であるためには、 と の任意の2つの空でない閉じた分離した部分集合に対して、と となる連続写像が存在する必要がある。${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:X\to [0,1]}$${\displaystyle f(A)=\{0\}}$${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

証明は、正規性の次の代替特徴付けを繰り返し適用することによって進められます。が正規空間、が の開部分集合、 が閉集合である場合、 となる開集合と閉集合が存在します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\subseteq Z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$

およびを の互いに素な閉部分集合とします。証明の主な考え方は、この正規性の特徴付けを および に繰り返し適用し、各ステップで構築される新しい集合を継続することです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B^{\complement }}$

構築する集合は、二項分数によってインデックス付けされます。すべての二項分数 に対して、次の条件を満たす の開集合と閉集合 を構築します。${\displaystyle r\in (0,1)}$${\displaystyle U(r)}$${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$そして、すべてのために、${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$すべて、${\displaystyle r}$
• のために、。${\displaystyle r<s}$${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$

直感的に、集合とは次の層から外側に向かって展開します。 ${\displaystyle U(r)}$${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}A&&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}$

この構築は数学的帰納法によって進められます。基本ステップとして、2 つの追加セットとを定義します。 ${\displaystyle U(1)=B^{\complement }}$${\displaystyle V(0)=A}$

ここで、および の集合がすでに に対して構築されていると仮定します。 については、このことは空虚に満たされていることに注意してください。は正常であるため、任意の について、次のような開集合と閉集合を見つけることができます。 ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

次に、上記の 3 つの条件が検証されます。

これらの集合が得られたら、任意のに対してが成り立つかどうかを定義します。それ以外の場合は任意の に対して が成り立ち、ここで は下限値 を表します。2項有理数が稠密 であるという事実を利用すると、が連続であり、 という特性を持ち、 であることを示すのはそれほど難しくありません。このステップでは、集合が機能していることが 必要です。${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle x\not \in U(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \inf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$${\displaystyle V(r)}$

Mizarプロジェクトは、 URYSOHN3 ファイル内の Urysohn の補題の証明を完全に形式化し、自動的にチェックしました。

• 軟化剤

• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• ウィラード、スティーブン（1970）。一般位相幾何学。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。

• 「ウリゾーンの補題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20